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La densidad gamma y la de Poisson |
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En la sección "La
distribución de Poisson" enseñábamos la distribución de que
ocurriera una serie de eventos sujeto a dos condiciones: (i) que la
probabilidad de que ocurra un evento en una longitud de tiempo (espacio, o
área) Dt pequeño es
proporcional a ese espacio de tiempo (longitud o área), con constante de
proporción m, y que
la ocurrencia de dos o más eventos es nula; y (ii) que la ocurrencia de
eventos en longitudes de tiempo (espacio o área) no traslapadas son
independientes.
Bajo estas condiciones, entonces, demostrábamos que la probabilidad de que ocurran k eventos en una longitud de tiempo (espacio o área) está dada por Pk(t) = e-m t (m t)k / k! Observemos que este valor es la probabilidad de ocurrencia de k eventos en una longitud de tiempo (espacio, o área) t. Para fijar ideas, vamos a restringir nuestro estudio a la longitud de tiempo t (pero igualmente los resultados que aquí veremos pueden homologarse a longitud de espacio, o área). Supongamos que estamos observando, a través del tiempo, las ocurrencias de un fenómeno que se rige por la ley de Poisson. Entonces pasará un tiempo hasta que ocurra el primer evento, luego esperamos otro tiempo hasta que ocurra el segundo evento, y así sucesivamente. La pregunta es ¿cuánto tiempo tendremos que esperar hasta que ocurra el r-ésimo evento? (por ejemplo r = 10). Esta pregunta nos genera un tiempo aleatorio, puesto que no podemos determinar en que tiempo ocurrirá el r-ésimo evento. Definamos por T el tiempo que debemos esperar hasta que ocurra el r-ésimo evento. Entonces nuestro interés es calcular Pr{T < t} Denotemos esta expresión por su función de distribución (desconocida) F(t) = Pr{T < t} Entonces 1 - F(t) denotará la probabilidad de que el tiempo de ocurrencia sea mayor que t, de otra forma 1 - F(t) es la probabilidad de que el número de eventos que ocurran en el tiempo t sea menor que r. Por lo tanto
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Derivando esta expresión, obtenemos
Podemos reconocer en la sumatoria la "propiedad telescópica" (así por lo menos la llamaba mi antiguo profesor de Cálculo, el "tata" Domingo Almendras), de modo que
y se concluye que la función de densidad de la variable T es
Y esta función de densidad, como se puede observar más adelante es un caso especial de la densidad gamma. La función densidad gamma La función gamma (que no la densidad) de parámetro a se define como:
No resulta complicado, mediante integración por parte, demostrar que G(a) = (a - 1) G(a -1) y que además G(1) = 1 Entonces para cualquier entero n positivo, se tiene que G(n) = (n -1)! Ahora bien, se demuestra que la siguiente función, definida en t > 0, es de densidad:
En particular si b = 1 / m y a = r, con r entero positivo, se tiene la función de densidad dada en (*).
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(*)
(**)