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En sección anterior identidades en el cálculo vectorial establecimos que |
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div rot F = Ñ . Ñ x F = 0 (1) |
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rot grad j = Ñ x Ñj = 0 (2) |
| Observemos los campos generados por F y j que actúan en ambas identidades, esto es G = Ñ x F y H = Ñj. Para cada caso se dice que F es el potencial vectorial de G y j es el potencial escalar de H. |
| ¿Cuándo un determinado campo posee potencial vectorial o escalar? |
| Teorema 1. Si F es un campo vectorial tal que div F = 0 entonces existe un campo vectorial A tal que Ñ x A = F, o de otra forma rot A = F. (Nota: el campo vectorial A se dice potencial vectorial de F, y no es único) |
| Demostración. Construiremos un campo vectorial A tal que Ñ x A = F, y de tal forma que, por (1), se satisfaga que |
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| Las componentes de A deben cumplir entonces |
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| Puesto que la solución no es única, hagamos arbitrariamente A3 = 0, de modo que nos quedan las ecuaciones |
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| Integrando las dos primeras ecuaciones, obtenemos |
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| donde M y N son funciones escalares arbitrarias ("constantes" de integración). Con estas funciones armamos la tercera ecuación que no se ha involucrado aún, esto es |
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| De la igualdad en (3) reemplazamos el integrando, |
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| Como N y M son arbitrarias hacemos M = 0, entonces obtenemos una expresión para N, esta es |
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| Hemos obtenido expresiones para las componentes del campo vectorial A, de (4) tenemos que |
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| Nota: los valores x0 y z0 son arbitrarios. |
| Ejemplo. Pruebe si el campo F = (x - y) i + (y + xz) j + (y - 2z) k tiene un potencial vectorial y encuentre uno. |
| No hay problema en probar que div F = 0. Ahora aplicando directamente las fórmulas dadas en (5) se tiene que |
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| Luego una solución como potencial vectorial es |
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| Teorema 2. Si F es un campo vectorial tal que rot F = 0 entonces existe un campo escalar j tal que F = Ñj |
| Demostración. Por hipótesis se cumple que |
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| Vamos a construir la función escalar j. En efecto, se debe cumplir que |
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| Integrando la última ecuación, |
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| donde P( x, y) es una función arbitraria y (x0, y0, z0) un punto fijo. De la ecuación (8) obtenemos sendas derivadas parciales respecto de x e y, |
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| Remplazamos los integrandos de estas dos ecuaciones en virtud de (6), y obtenemos |
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| Esta sustitución nos permite una integración directa, |
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| Ahora utilizando las ecuaciones en (7), tenemos que |
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| Integrando la segunda ecuación, |
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| Ahora derivamos esta función respecto de x, y utilizando la primera ecuación en (9) |
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| y reemplazando el integrando por la última ecuación de (6), nos queda |
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| de modo que |
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| Recapitulando, de (8), (10) y (11) se concluye que |
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| En definitiva, un potencial escalar está dado por |
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| Ejemplo. Encontrar un potencial j para F = (y2 + 2xz2 - 1) i + 2xy j + (2x2z + z3) k |
| Un cálculo rápido nos permite verificar que el rotor de este campo es el vector nulo. Utilizando la fórmula obtenida en (12) y eligiendo el punto (x0, y0, z0) = (0, 0, 0), |
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| Se verifica que el gradiente de este campo escalar es precisamente F. |
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)