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Un ejemplo de curva en el espacio la puede ver en la Figura 1. Consideremos una función continua definida en un intervalo real [a, b] y con valores en el espacio tridimensional R3, pues bien, al rango de tal función le llamaremos curva. De otra forma si r( t ) = ( x( t ), y( t ), z( t ) ), entonces las funciones componentes deben ser continuas en el intervalo [a, b], y al valor t se le llama parámetro de la curva r. En la sección Diferenciación de funciones vectoriales de una sola variable hicimos notar que la curva r( t ) puede representar el movimiento de una partícula, donde el vector r( t ) representa la posición de la partícula en el tiempo t. Sin embargo, no necesariamente t puede representar el tiempo, o tal vez se tenga que utilizar otro parámetro para describir la curva que sea más conveniente para facilidad del análisis que se quiera hacer de la curva. |
| Por ejemplo, para la curva r( t ) podemos efectuar el cambio de variable t = f( s ), de tal forma que r( t ) = r( f( s ) ) = r( s ) Y en este caso las derivadas de r respecto de t y s están relacionadas, en virtud de la regla de la cadena, por |
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| Un parámetro que puede reemplazar al parámetro tiempo t puede ser la longitud de arco s. Este cambio de variable parece natural, toda vez que la longitud de arco puede describir la longitud de la trayectoria recorrida por la partícula hasta el tiempo t. |
| Sea r( t ) = x( t ) i + y( t ) j + z( t ) k el vector posición en un punto de la curva, para encontrar una fórmula que describa la longitud de arco de una curva se puede realizar lo siguiente. Considerando el vector desplazamiento infinitesimal |
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dr = dx i + dy j + dz k |
| que será tangente a lo largo de la curva. Y la magnitud de este vector es, por definición, el elemento infinitesimal de la longitud de arco (vea la Figura 2), esto es |
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| Puesto que el vector desplazamiento infinitesimal dr siempre es tangente a la curva, podemos formar un vector tangente a la curva, que tenga la misma dirección y sentido que dr, y que sea unitario, esto es |
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| que llamaremos, obviamente, vector unitario tangente a la curva. (Observe la Figura 3) |
| Si consideramos que r( t ) = x( t ) i + y( t ) j + z( t ) k entrega la posición de una partícula que se mueve en el espacio, entonces sabemos que su velocidad es |
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y la magnitud de esta velocidad es  ,
y se puede, en virtud de (1), calcular de la siguiente forma |
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| de modo que tenemos la magnitud del vector v, ahora vamos a expresar v en función del vector unitario tangente a la curva, esto es |
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| Antes de finalizar esta sección queremos resaltar que la ecuación (1), o equivalentemente la ecuación (2), nos está dando la longitud infinitesimal de la trayectoria recorrida por la partícula que ha tenido un desplazamiento vectorial dr. Por lo tanto podemos calcular la longitud del segmento de trayectoria recorrida, s, en un intervalo de tiempo [t0, t1]. En efecto, como |
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| entonces integramos entre t0 y t1, y obtenemos |
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| Ejemplo. Calcular el perímetro de la región plana encerrada por el astroide x2/3 + y2/3 = 1 (vea la Figura 4) |
| La curva que rodea el perímetro está en coordenadas cartesianas, sin embargo podemos tener una sencilla representación paramétrica mediante las ecuaciones |
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| de tal forma que |
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| Según la Figura 4, el punto (1, 0) significa que t = 0, y para el punto (0, 1) se tiene que t = p / 2, y bastaría encontrar la longitud de segmento entre los puntos (1, 0) y (0, 1), por la simetría de la curva, luego el perímetro pedido se obtiene multiplicando por 4. De modo que |
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| de manera que integrando según (2), obtenemos |
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| de manera que el perímetro pedido es 6. |
(1)
(2)
(3)
