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El teorema del gradiente

Supongamos que tenemos un campo vectorial F( x, y, z) de tal forma que posee un potencial escalar, esto es F = Ñj. Recuerde que un campo vectorial posee un potencial escalar si rot F = 0, y además la forma de calcular este potencial escalar está dado en la ecuación (12) de esta sección.

Vamos a demostrar que

             (1)

donde C es una curva seccionalmente suave cuya forma paramétrica está dada por r( t ) con t en [a, b], y está orientada desde P0 = r( a ) hasta  P1 = r( b ) .
Como F tiene un potencial escalar, entonces

De tal forma que la integral de línea queda como

esto es

Y con esto queda demostrado (1). 
De este resultado podemos deducir que si F es un campo vectorial que tiene un potencial escalar, entonces la integral 

es independiente de la trayectoria C. Y más aún, si la curva es cerrada esto es r( a ) = r( b ), entonces

Nota: el "círculito" en el símbolo de la integral sirve para denotar que se está integrando sobre una curva cerrada.

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