| En este caso, con variadas aplicaciones, C es la curva determinada por alguna forma paramétrica r( t ), j( x, y, z ) es un campo escalar, y s es el parámetro longitud de curva (el parámetro "natural" de la curva). El cálculo de esta integral es sencillo. En efecto, supongamos que la curva C se describe por la función paramétrica |
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r( t ) = x( t ) i + y( t ) j + z( t ) k |
| de tal forma que en t = a, y t = b nos indica que r( a ) = P y r( b ) = Q son los puntos inicial y final de la curva (de otra forma es la "orientación" de la curva C, desde el punto de vista físico es el "sentido" que sigue la partícula que describe el camino C). De esta forma el campo escalar definido sobre la curva r( t ) está dado por j( x( t ), y( t ), z( t ) ). |
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Y por otro lado, sabemos que |
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| Esto es |
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| de modo que la integral nos queda como |
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| que es una sencilla integral real en la variable t. |
| Veamos un ejemplo. Vamos a evaluar la integral |
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| donde C : r( t ) = a cos t i + a sen t j + b t k, con a, b > 0; t en [0, 1]. |
| Necesitamos calcular la derivada de r( t ), y luego su valor absoluto. Estos valores realizados en el DERIVE (usted los puede hacer con lápiz y papel) son |
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| Ahora evaluamos el campo escalar j( x( t ), y( t ), z( t ) ), esto es |
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| De manera que la integral en (1) para nuestro ejemplo queda como |
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| cuya evaluación (con papel y lápiz o con el DERIVE) es |
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| Otro ejemplo, tan sencillo como el primero. Evaluar la integral |
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| donde C : r( t ) = a cos t i + a sen t j + b t k, con a, b > 0; t en [0, inf]. |
| La curva es la misma que en el ejemplo anterior, sólo que ahora el parámetro está entre 0 e infinito. Esta vez el campo escalar evaluado en la trayectoria está dado por |
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| De modo que la integral en (1) para este ejemplo queda como |
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| y cuya evaluación es |
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(1)
