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Dinámica poblacional (II): la ecuación logística

La ecuación logística es un segundo modelo sobre evolución poblacional que le pone más realidad al modelo de crecimiento exponencial. Como antes definiremos por N( t ) el tamaño de la población bajo estudio, y como antes vamos a suponer que el coeficiente k es la tasa de crecimiento, pero esta vez no será constante, y vamos intentar explicar no solo porqué no será constante sino que también porqué asume el valor que vamos a proponer. En el modelo exponencial teníamos que

              (1)

y con esto estábamos diciendo que los nuevos miembros de la población van a ser proporcionales al tamaño de la población con una constante de proporcionalidad k. Pues bien, lo que se propone aquí es lo siguiente: la tasa de crecimiento en condiciones "normales" será constante o aproximadamente constante, pero en esta tasa de crecimiento se debe reflejar el hecho de que si la población aumenta considerablemente ese mismo tamaño va a inhibir el crecimiento o se reducirá los nuevos miembros de la población, es decir esta nueva tasa de crecimiento será de la forma

                                (2)

donde el factor a indica una tasa de crecimiento "en condiciones normales" y el factor b N( t ), con b > 0, indicará el retardo en la tasa a cuando la población N( t ) sea muy grande. Entonces reemplazando (2) en (1) obtenemos

Formando el cociente de Newton y pasando al límite cuando Dt se aproxima a cero, se tiene que

             (3)

Esta ecuación se puede arreglar como

               (4)

Observemos que el denominador admite la siguiente descomposición

de tal forma que reescribimos la ecuación (4) como

el segundo miembro de esta ecuación es equivalente a las siguientes derivadas

Recordando que derivada de una suma es la suma de las derivadas y por propiedad de logaritmo, nos queda

esto significa entonces que

de modo que

como nuestro objetivo es "descubrir" la función N( t ) estamos a un paso si la despejamos de esta igualdad. En efecto

                 (5)

Y esta función N( t ) definida según (5) que se conoce con el nombre de ecuación logística.
Veamos como funciona esta ecuación para a = 1, b = 0.001 y N( 0 ) = 106 . Observe la gráfica 1.

Allí se puede ver como la función crece violentamente, luego alcanza un punto de inflexión y a partir de ese punto de inflexión empieza la población a estabilizarse a un punto fijo. Observe la gráfica 2. Allí se puede observar el punto de inflexión y además el límite asintótico de la ecuación logística, esto es

y esto significa que la población se estabiliza en el tamaño poblacional a / b.
Aun queda mucho que estudiar de esta función logística, como por ejemplo, ¿cuáles son las unidades de a y b? ¿qué valores puede tomar a y b para que la población no se extinga?, ¿para qué valores de a y b la población está condenada a la extinción? ¿qué papel juega N ( 0 )? Además se debe especificar claramente en que unidades de tiempo estamos trabajando.
Debe usted comprender cuán importante es el cálculo diferencial en los estudios de dinámica poblacional.
Para finalizar, se puede demostrar mediante unos pocos minutos de álgebra elemental que si hacemos k = a / b entonces

La constante k es llamada, por los ecologistas, la capacidad de "carga" del nicho que contiene a la población. ¿Qué unidades tiene k?

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