| Supongamos que tenemos una determinada especie biológica ubicada en un cierto nicho ecológico, se define por N( t ) el número de unidades de esa especie en el tiempo t. Supongamos que esta especie no tiene depredadores y el espacio ecológico le da suficientes alimentos de tal manera que no hay una excesiva competencia dentro de las especies (digamos que falla el elemento articulador de la teoría darwiniana: los medios son escasos y se hace necesario la lucha por los alimentos). De tal forma que esta "especie elegida" no tiene strees externo ni interno, de modo que el modelo que se propone es el siguiente: |
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N( t + Dt ) = N( t ) + k N( t ) Dt (1) |
| siendo k una constante positiva, que llamaremos la tasa de crecimiento de la población. Supongamos que el tiempo t = 0 la población es de N ( 0 ) unidades. Formando el cociente de Newton en la ecuación dinámica en (1), nos queda |
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| pasando al límite cuando Dt tiende a cero, |
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| Observemos que |
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| La pregunta es, cuál es la función N( t ) que satisface la relación (2)? |
| Podemos recordar que |
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| entonces la derivada de la función compuesta ln N( x ), aplicando la regla de la cadena, es |
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| de tal manera que de (2) se tiene que |
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| por lo tanto necesariamente para llegar a la ecuación (3) se debe tener que |
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| En (4) aplicamos la definición de ln y obtenemos |
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| la constante A la calculamos fácilmente toda vez que conocemos el valor de N( 0 ), en efecto, N( 0 ) = A, entonces |
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| Para una población que se inicia con N( 0 ) = 10000 especies, y con un crecimento de 5 por cada mil en una unidad de tiempo (por ejemplo años), entonces se tiene que k = 0.005, la evolución dinámica de esta especie se entrega en la gráfica siguiente |
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| Este modelo es adecuado para especies bacteriológicas con un rango de validez temporal, por ejemplo una semana, es decir el crecimiento será exponencial en una semana considerando por ejemplo que la bacteria se duplica en 1 hora, esto es la constante de crecimiento es de 2 bacterias por cada una en una hora, es decir k = 2, y la unidad de tiempo es hora. ¿Cuál será la evolución de esta colonia de bacterias al cabo de una semana? |
(2)
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