El gradiente ante los cambios de variables

En la sección vamos a analizar el comportamiento de un campo escalar de dos variables del tipo f(x, y) al efectuar un cambio de variable del tipo x = x(r, q), y = y(r, q) y la incidencia que tendrá en el gradiente Ñf. Este desarrollo se puede generalizar a tres o más variables.

El gradiente para el campo escalar f(x, y) está dado por

(0)

Por otro lado, si tenemos un cambio de variable "bueno" de la forma x = x(r, q), y = y(r, q), entonces esencialmente se tiene que f(x, y) = f(x(r, q), y(r, q)) = f(r, q), y en consecuencia la interrogante es ¿cómo será el gradiente del campo escalar en estas nuevas variables?

La diferencial para f(x, y) está dada por

(1)

y la diferencial para f(r, q) estará dada por

(2)

Es claro que en cualquier caso df(x, y) = df(r, q). Ahora, en virtud de que x = x(r, q), y = y(r, q) podemos calcular las diferenciales dx y dy, esto es

(3)

Reemplazando estas últimas ecuaciones en (1), obtenemos

(4)

Y, en consecuencia, comparando las expresiones en (2) y (4), podemos concluir la versión bidimensional de la regla de la cadena, esto es

(5)

Con esto hemos calculado el diferencial de f en las nuevas variables r y q. Vamos ahora al cálculo del gradiente en estas nuevas variables.

De la expresión (5) podemos calcular las derivadas parciales de f en las variables x e y . En efecto, matricialmente las ecuaciones en (5) se pueden expresar como

Este sistema tiene una única solución si el determinante de la matriz de 2 x 2 es distinta de cero (y esta es nuestra exigencia al decir que tenemos un cambio de variable "bueno"). Despejando obtenemos

(6)