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Integrales de línea de un campo vectorial

Consideremos un campo vectorial F, y sean P₀ = (x₀, y₀, z₀) y P₁ = (x₁, y₁, z₁) dos puntos fijos que determinan el inicio y el final de una curva C. Observe la Figura 1. La integral de línea de F desde P₀ hasta P₁ a lo largo de la curva C se escribe (y se define) como

(1)

siendo T el vector tangente unitario a la curva y ds el elemento de longitud de arco de la curva. La interpretación de esta integral de línea, y que es su definición básica, es la misma que una integral ordinaria de la función escalar

sobre el arco de longitud P₀ hasta P_1. No obstante, como insinuamos en la sección anterior, tenemos la igualdad

donde la integral de la derecha es la definición de integral de línea que definimos en la sección anterior, esta vez sobre cada una de las componentes del campo vectorial F.

La representación del trabajo efectuado por un fuerza como una integral de línea da una buena ilustración de su interpretación física.

Figura 1

En efecto, recordemos que el trabajo hecho por una fuerza F que logra un desplazamiento infinitesimal dr está dado por

de modo que el trabajo total realizado por la fuerza F moviéndose desde P₀ hasta P₁ a lo largo de la curva C es la suma de todas estas contribuciones infinitesimales, esto es la integral dada en (1)

Ahora daremos los pasos analíticos para evaluar una integral de línea de un campo vectorial definido sobre una curva C.

En primer lugar, debemos encontrar una ecuación paramétrica para la curva (no necesariamente definirla mediante el parámetro natural s, longitud de arco). Supongamos que tenemos una representación paramétrica r = r( t ), donde los valores t = t₀ y t = t₁ corresponden a los puntos P₀ y P₁. Entonces la primera integral de (1) puede escribirse como

(2)

donde la integral de la derecha es una integral ordinaria en una variable. El producto punto de la función que se integra puede desarrollarse de la siguiente manera. Sea el campo vectorial

F = F₁( x, y, z ) i + F₂( x, y, z ) j + F₃( x, y, z ) k

y el vector r que describe la curva en su forma paramétrica

r( t ) = x( t ) i + y( t ) j + z( t ) k

entonces

Reemplazando esta expresión en (2), nos queda

Y esta integral, por lo general (salvo que el profesor diga lo contrario), es una sencilla integral ordinaria de una sola variable. Sin embargo hay que tener cuidado con esta fórmula. El resultado no sólo dependerá de los puntos P₀ y P₁, sino que también dependerá, en general, del camino C que conecta ambos puntos.