| El objetivo de esta sección es desarrollar en forma directa la integral |
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| El objetivo de esta sección es desarrollar en forma directa la integral |
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| donde S es una superficie cerrada. Supongamos que, respecto del plano XY la superficie S es la suma de dos superficies, digamos S1 y S2, como se observa en la Figura 1. | ||||||||
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| Podemos calcular ambas integrales de la manera habitual, esto es |
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| Recuerde que |
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| Y con estas integrales, sumando, obtenemos la integral en (1). Veamos un ejemplo. |
| Ejemplo 1. Evaluar la integral (1) donde S es la superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = a2, y F = x3 i + y3 j + z3 k. |
| La esfera la dividimos en dos superficies abiertas, S1 que será la parte correspondiente al hemisferio norte, esto es |
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S1 : x2 + y2 + z2 = a2 ; z > 0 |
| y la superficie S2 correspondiente al hemisferio sur, esto es |
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S2 : x2 + y2 + z2 = a2 ; z < 0 |
| De tal forma que la forma la superficie S1 está caracterizada por |
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| Y la superficie S2 por |
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| donde (x, y) pertenecen al interior del círculo en el plano XY de radio a. |
| En ambos casos se puede verificar que los vectores normales |
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| son iguales, y tienen el valor de |
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| Realizando el producto |
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| que es igual a |
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| luego reemplazando z por el valor en (2), obtenemos |
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| De manera que debemos integrar esta expresión en la
región del interior del círculo x2 + y2
= a2.
Utilizando coordenadas polares, esto es |
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| y recordando que dx dy = r dr dq, nos queda la integral |
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| Como el cálculo para la integral en S2 es el mismo, tenemos que multiplicar este resultado por 2, y obtenemos que |
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| Como podemos observar, resulta bastante tedioso calcular este tipo de integrales de esta manera directa. Afortunadamente existe otra forma analítica de calcular integrales de un campo vectorial sobre superficies cerradas. Y esto lo da el llamado Teorema de la Divergencia. |
(1)
(2)
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