Flujo, de manera general, es "cantidad" que fluye por unidad de tiempo (en un lugar especificado). Por ejemplo en un río, respecto de un punto referencial en una orilla del río podemos decir que el flujo es de 3 m³/seg. En general, todo fluido fluye. Y valga la redundancia, puesto que hay elementos que no son fluidos, en el sentido estricto físico, pero sin embargo fluye, como por ejemplo el dinero. En efecto, podemos hablar del flujo de exportación, al decir 5 millones de dólares al mes en flujo de exportación. Como se quiera, queremos establecer que, por lo general, el flujo de una cantidad, en un determinado lugar del espacio, es la variación respecto del tiempo. (Recordemos que el término usado por Newton para introducir el concepto de derivada fue de fluctuaciones o flujo).

De manera que cuando queremos medir flujo de algo, debemos establecer en primer lugar el sitio donde vamos a contar el flujo, el sitio donde pasará el material o el fluido. Pensemos entonces en una superficie cerrada (que puede ser virtual)

Consideremos entonces un fluido que fluye a través de una superficie cerrada S.

Sea v la velocidad del fluido, y r la densidad del fluido, que puede variar en cada punto del espacio, y eventualmente puede varias respecto del tiempo, esto es

v = v( x, y, z, t ) ; r = r( x, y, z, t )

El flujo que pasa a través de la superficie S se determina primero examinando el flujo de salida a través de un elemento de superficie dS.

Notemos que la magnitud de la velocidad del fluido que pasa por el elemento dS en dirección

está dado por

En un tiempo infinitesimal dt el fluido que pasa a través de dS a la velocidad v recorrerá una distancia dl. Esto es

Figura 1

El volumen dV de fluido que fluye a la velocidad v durante el tiempo dt será igual al cilindro elemental de base dS y longitud dl, esto es (observe la Figura 2)

Luego, la cantidad de masa infinitesimal que ha fluido dentro de ese cilindro es de

Figura 2

Por lo tanto, la suma de todas las masas infinitesimales dm, cada una de ellas en un elemento de superficie dS, constituirá el incremento de masa dM que fluye fuera de la superficie cerrada S, en un intervalo de tiempo infinitesimal dt. (Observemos que aún estamos en un tiempo dt, de modo que los elementos de masa dm son doblemente pequeños, puesto que aún sumándolos ellas apenas conforman una masa grande pero infinitesimal dM). Sumando, obtenemos entonces

de modo que la masa que pasa a través de la superficie por unidad de tiempo, esto es el flujo del fluido es de

En resumen, la integral de superficie describe el flujo de la masa transportada por el vector rv a través de S. Y este es el sentido y la aplicación que tendrá la integral en (1). Nuestro próximo objetivo, entonces, es calcular analíticamente la integral en (1) puesto que necesariamente tendrá un tratamiento especial en virtud de que no es una superficie abierta, esto es que admita una única proyección sobre algún plano.

Flujo de un campo vectorial