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En la sección anterior establecimos que los vectores unitarios
tangente, normal y binormal que son ortogonales entre sí constituyen
una base vectorial. Consideremos los siguientes vectores |
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(1)
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que representan las derivadas respecto de la variable longitud de arco.
Cada uno de estos vectores satisface lo siguiente |
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(2)
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puesto que |
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Por otro lado, cada uno de estos vectores en (1) deben ser combinación
lineal de la base (base que a menudo se llama triedro de Frenet), esto es |
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(3)
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A partir de estas hipótesis vamos a probar las llamadas fórmulas de
Frenet, que son las siguientes |
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(4)
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donde los valores k y t
son funciones del parámetro s. |
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Veamos la demostración de las fórmulas en (4), que no es nada más que
encontrar los valores de aij del sistema de ecuaciones
en (3). |
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Sabemos que |
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es decir |
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lo que se deduce, observando la primera ecuación de (3), que a11 = a13 = 0,
y además |
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A este coeficiente le llamaremos coeficiente de curvatura
o simplemente curvatura. De tal modo que |
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Ahora vamos a demostrar las dos últimas fórmulas de (4).
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Multipliquemos por el producto punto las dos últimas ecuaciones de (4)
por el vector normal y binormal, respectivamente. Obtenemos que
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de modo que a22 = a33 = 0. Ahora
derivemos respecto de s la igualdad
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y obtenemos
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Al coeficiente a23 le llamaremos coeficiente de
torsión y lo denotaremos por a23 = t(
s ), y de paso, en virtud de la tercera ecuación en (3), hemos
encontrado que a31 = 0 y a32 = - a23
= -t( s ). Con esto hemos demostrado la
tercera fórmula de Frenet.
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Notemos que solo nos falta determinar el coeficiente a21.
Vamos a derivar respecto de s la igualdad
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entonces
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Por lo tanto a21 = - k( s
). De tal modo que, en virtud de la segunda ecuación de (3), nos queda
que
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y con esto hemos demostrado la segunda fórmula de Frenet.
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