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Diferenciación del producto escalar

Vamos a obtener la derivada del producto punto de dos funciones vectoriales con variable en t. Sean a( t ) y b( t ) dos funciones vectoriales de modo que a( t ) = a1( t ) i + a2( t ) j + a3( t ) k y b( t ) = b1( t ) i + b2( t ) j + b3( t ) k. Entonces el producto escalar a( t ) . b( t ) es una función unidimensional con variable en t, y supongamos que estamos interesados en la derivada, esto es

y puesto que

derivando y aplicando la regla del producto nos queda

Reordenando los términos, obtenemos

entonces

            (1)

Se determina entonces que (1) es la caracterización de la derivada de un producto escalar de dos funciones vectoriales.
Esta derivada tiene variadas aplicaciones. En efecto, no resulta complicado demostrar que

           (2)

En efecto, como

sigue de (1) que

Aplicación 1. Si r( t ) = r1( t ) i + r2( t ) j + r3( t ) k denota la posición de una partícula, entonces

Aplicación 2. Supongamos una partícula de masa constante obedeciendo la segunda ley de Newton, esto es

donde F( t ) es la fuerza externa y v( t ) la velocidad de la partícula. Entonces

         (3)

pero como 

entonces

reemplazando esta última expresión en la correspondiente que aparece en (3), obtenemos que

Y esta última ecuación nos dice que la razón de cambio de la energía cinética es igual a la razón del trabajo de la fuerza externa.

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