| Vamos a obtener la derivada del producto punto de dos funciones vectoriales con variable en t. Sean a( t ) y b( t ) dos funciones vectoriales de modo que a( t ) = a1( t ) i + a2( t ) j + a3( t ) k y b( t ) = b1( t ) i + b2( t ) j + b3( t ) k. Entonces el producto escalar a( t ) . b( t ) es una función unidimensional con variable en t, y supongamos que estamos interesados en la derivada, esto es |
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| y puesto que |
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| derivando y aplicando la regla del producto nos queda |
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| Reordenando los términos, obtenemos |
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| entonces |
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| Se determina entonces que (1) es la caracterización de la derivada de un producto escalar de dos funciones vectoriales. |
| Esta derivada tiene variadas aplicaciones. En efecto, no resulta complicado demostrar que |
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En efecto, como |
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| sigue de (1) que |
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| Aplicación 1. Si r( t ) = r1( t ) i + r2( t ) j + r3( t ) k denota la posición de una partícula, entonces |
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| Aplicación 2. Supongamos una partícula de masa constante obedeciendo la segunda ley de Newton, esto es |
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| donde F( t ) es la fuerza externa y v( t ) la velocidad de la partícula. Entonces |
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| pero como |
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| entonces |
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| reemplazando esta última expresión en la correspondiente que aparece en (3), obtenemos que |
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| Y esta última ecuación nos dice que la razón de cambio de la energía cinética es igual a la razón del trabajo de la fuerza externa. |
(1)
(2)
(3)
