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El teorema de Green: caso especial del teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia nos dice que el flujo de un campo vectorial que pasa por una superficie cerrada es igual a la integral de volumen de su divergencia,

Vamos a considerar un caso particular de campo vectorial, para decantar el el conocido teorema de Green.

Supongamos que tenemos el campo vectorial

F = F₁( x, y ) i + F₂( x, y ) j

Y vamos a considerar un volumen V de un sólido acotado por los planos z = 0 y z = 1, y cuya sección transversal es la región R proyectada sobre el plano XY, como lo indica la Figura 1.

Un volumen elemental está dado por dV = dx dy dz. Vamos a calcular la integral sobre el volumen V de la divergencia de F, esto es

de modo que

(1)

Vamos a probar que esta última integral doble corresponde a una particular integral de superficie.

Observemos que sobre los planos z = 0 y z = 1, el vector

Figura 1

normal es, respectivamente,

y

. Y por lo tanto tenemos el siguiente resultado para ambos casos

.

De modo que si consideramos la integral de flujo

(2)

las caras determinadas por los planos z = 0 y z = 1 no hacen ninguna contribución. De modo que debemos preocuparnos por la superficie "lateral", y sobre esta superficie consideraremos una superficie elemental de la forma

dS = 1 ds

puesto que en esencia esta superficie elemental será una superficie planar (rectangular) de altura 1 y longitud basal ds, que corresponderá a la longitud del arco de la curva que rodea a la región R. Vea la Figura 2.

Entonces la integral de superficie en (2) se reduce a una integral de línea sobre la curva cerrada C que rodea a la región R, esto es

Por otro lado el vector

es normal a la curva C (puesto que es normal a la superficie lateral del cilindro), y el vector k es normal a la región R y por lo tanto es el vector binormal a la curva C, tenemos que constituyen el triedro de Frenet, junto al vector tangente

, donde

Observe la Figura 3, de modo que la integral de línea en (2) se puede escribir como

Figura 2

y puesto que

obtenemos que

y puesto que dr = dx i + dy j, entonces

(3)

Figura 3

Comparando (1) y (3), obtenemos el teorema de Green, esto es

donde, F₁ = M, F₂ = - L, y obtenemos la antigua fórmula

Nota: en la utilización del vector

estamos asegurando que la integración a lo largo de la curva se realiza en sentido contrario a las "manecillas de un reloj".