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Derivación implícita y derivada de la función inversa

Recordemos el concepto fundamental de función: es una regla en que un número y es obtenido de otro número x. Esta relación usualmente se expresa como

y = f( x )

Sin embargo, una dependencia funcional se puede describir también sin necesidad de resolver la fórmula de dependencia de una variable respecto de la otra, y esta es de la forma

F( x , y) = 0

donde F describe las "operatorias matemáticas" entre x e y de tal forma que el resultado es cero. Por ejemplo

                 (1)

Esta ecuación define implícitamente y como función de x, o viceversa, aún cuando pueden surgir problemas de interpretación en la ambigüedad de los signos, en efecto si despejamos y obtenemos

En este caso, se elige "arbitrariamente" un signo, para que efectivamente sea una función. En cualquier caso se puede obtener la derivada dy / dx de la relación (1). Para esto se deriva cada miembro de la ecuación (1) respecto de x, donde evidentemente la derivada del segundo miembro es cero, esto es

de modo que

                (2)

luego si hemos decidido en (1) que

la derivada en (2) queda como

Observemos que perfectamente de la relación (1) podemos obtener la derivada dx / dy. Esto es

despejando dx / dy obtenemos

         (3)

Observemos que de las derivadas en (2) y (3) se concluye que

             (4)

Esta última relación nos indica que las "diferenciales" dx y dy pueden ser tratadas con el álgebra de los números reales, y la extensión que podemos hacer de (4) es la siguiente, Si y = f( x ) es una función que admite función inversa en un dominio determinado, esto es que existe la función x = f -1( y ), entonces

que es equivalente a

La demostración es bastante sencilla. Tenemos que

derivando implícitamente la última ecuación, nos queda

despejando dx / dy, obtenemos

Ejercicio. Encontrar dy / dx y dx / dy de la relación implícita

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