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Aplicaciones de la derivada: funciones crecientes y decrecientes

Si bien el concepto de derivada nace de una idea dinámica o de movimiento (a traves del tiempo), desde el punto de vista rigurosamente analítico la derivada de una función nos entrega las propiedades fundamentales de dicha función.
En lo que sigue en esta sección iremos viendo las características de una cierta función y verificar si la derivada puede describir tales características.
Consideremos una sencilla función polinómica

           (1)

La gráfica de esta función viene dada por

Esta función tiene cuatro raíces reales, y por problemas de escala no se puede vislumbrar claramente las dos raíces que se encuentran en el intervalo (-1, 0) marcado con una elipse roja.. Si aplicamos un zoom en esa zona vemos lo siguiente

Se puede calcular (con el software DERIVE, por ejemplo) que las raíces de esta función son:

Si ubicamos estos puntos en la gráfica, nos queda

donde hemos marcado de color verde la zona en que la función es decreciente y de color azul la zona en que la función es creciente. Haga click en esas zonas.
La derivada de la función (1) es

                (2)

No resulta complicado verificar, mediante el DERIVE por ejemplo, que esta derivada (2)  es positiva en los intervalos:

y que justamente corresponden a los dominios de la gráfica en los sectores de color azul.
Tampoco resulta complicado verificar que la derivada (2) es negativa en los intervalos

y que corresponde al dominio de la gráfica que está de color verde.
El resumen de lo expuesto en este ejemplo se puede ver en la siguiente gráfica

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