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Fórmulas de derivación (I)

Una vez que hemos aprendido el concepto de derivada es necesario entonces saber calcular derivada de funciones. Recordemos que si f ( x ) es una función entonces diremos que es derivable en x = x0 si existe el siguiente límite

               (1)

Observe que si x - x0 = Dx, entonces la expresión (1) es equivalente a

          (2)

Algunos libros utilizan la notación equivalente

          (3)

En cualquier caso, si este límite existe, su valor se simboliza por .

Lo que haremos en esta sección es estudiar algunas propiedades generales de la derivada de una función, y posteriormente calcular las derivadas de las funciones más usuales. Empecemos diciendo que la derivada de una constante es cero, esto es si g ( x ) = c entonces g ( x + h ) - g ( x ) = 0, y se tiene el resultado. Veamos a continuación los principales teoremas que nos permitirán operar con derivadas.

Teorema 1. Si f ( x ) es derivable en x = x0 entonces f ( x ) es continua en x = x0.
Demostración.

Teorema 2. Si f ( x ) es derivable en x = x0 entonces la derivada de la función g ( x ) = c f ( x ), siendo c cualquier número real, en el punto x = x0 es 

Demostración

Es decir una constante "no molesta en el proceso de derivación".
Teorema 3. Si f ( x ) y g ( x ) son derivables en el punto x = x0 entonces la función h ( x ) =  f ( x ) + g ( x ) también es derivable en  x = x0 y además

Demostración.

Es decir la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de las funciones.
Teorema 4. Si f ( x ) y g ( x ) son derivables en el punto x = x0 entonces la función producto h ( x ) =  f ( x ) g ( x ) también es derivable en  x = xy además

Demostración. Se verifica fácilmente que

luego aplicando límite cuando h g 0 obtenemos el resultado con ayuda del teorema 1. Y lo que dice este teorema es que la derivada de un producto de funciones NO ES el producto de las derivadas de las funciones.
Teorema 5 Si f ( x ) y g ( x ) son derivables en el punto x = x0 y g ( x0 ) no nula entonces la función cociente 

también es derivable en  x = xy además

Demostración.

La conclusión se obtiene al aplicar cuidadosamente las propiedades de límites y utilizando el teorema 1. Y este teorema dice que la derivada de un cociente NO ES el cociente entre las derivadas.g
Con estos teoremas estamos en condiciones de realizar el cálculo de derivadas de una gran variedad de funciones. En efecto, calculemos la derivada de la función

con n número entero positivo. El cociente de Newton nos conduce a (Nota: haga click sobre (x0 + h)n si no entiende el desarrollo de esta expresión en la ecuación que sigue)

pasando al límite cuando h g 0 la sumatoria del segundo término de la última igualdad anterior es cero, de modo que

Con este resultado, estamos en condiciones de calcular la derivada de cualquier polinomio utilizando correctamente los teoremas 2 y 3. Por ejemplo la derivada del polinomio 3 z 4 + 2 z 3 + z 2 - 5 z + 8 en el punto z = x es

12 x 3 + 6 x 2 + 2 x - 5         

Observación: La propia derivada de una función resulta ser una función en los valores donde efectivamente es derivable, de modo que con mucha frecuencia uno calcula la derivada de una cierta función f ( x ) en el propio punto genérico x, de modo que se obtiene la función derivada f `( x ), donde posteriormente esta función puede ser evaluada en algún punto x = x0.
Con esta observación se puede decir simplemente que la derivada de la función f ( x ) = 3 x 2 + 5 x es f `( x ) = 6 x + 5.
Si sabemos calcular la derivada de un polinomio, estamos en condiciones de calcular la derivada de cualquier función racional de la forma

siendo P ( x ) y  Q ( x ) polinomios. En efecto, tendremos que

siendo P `( x ) y  Q `( x ) derivadas fáciles de calcular (lo tedioso es el producto de funciones y el cuadrado del polinomio).
Ejemplo. Calcular la derivada de (2 x 2 - 3) / (x 3 - x 2 + 5)

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