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Teoría de la confiabilidad

Ecuaciones diferenciales: aplicación de una cadena de Markov

Consideremos el mismo problema de la sección anterior, cuya dinámica está determinada por el grafo markoviano siguiente

Definamos la colección de variables aleatorias

donde X( t ) toma valores en los estado {0, 1}, indicando el 0 no falla y 1 el estado de falla, y de esta manera nuestro objetivo es encontrar las siguientes probabilidades

Vamos a iniciar nuestro estudio del estado de falla o no falla en el intervalo (0, t]. De modo que no resulta complicado convencerse que

entendiendo que la probabilidad de no falla son independiente para intervalos no traslapados, es decir que la probabilidad de no falla en el intervalo [0 , t ) es independiente de la no falla en el intervalo [t, t + Dt). Sin embargo, si la falla ocurre en el intervalo (0, t], entonces el proceso termina allí (estado absorvente), y en consecuencia tenemos la siguiente ecuación

De manera que estas dos ecuaciones más la probabilidad infinitesimal, nos conduce a las siguientes ecuaciones

y entonces

tendiendo Dt hacía cero nos queda el sistema de ecuaciones diferenciales

Considerando las condiciones iniciales obvias, esto es P0(0) = 1 y P1(0) = 0, este sistema es de fácil resolución, y nos conduce a la misma solución dada en la sección anterior, esto es

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