Toda función que es una curva en su trazado define dos
regiones: la región cóncava (o simplemente concavidad) y la
región no cóncava. Observe la siguiente situación donde se
describe la concavidad, |
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Sea f ( x ) una función, no resulta
complicado verificar que en la región donde f ''( x ) > 0
implica que la función primera derivada f ' ( x ) es una
función
creciente y esto significa que la curva en dicha región es cóncava
hacia abajo (como el segundo gráfico). Y si se cumple que f
''( x ) < 0, significa que la función primera derivada es decreciente
y por lo tanto es cóncava hacia arriba en dicha región
(como en el gráfico de la izquierda anterior) |
De esta forma, si tenemos la siguiente gráfica |
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en el punto marcado por el círculo rojo hay un cambio en
la concavidad, la correspondiente coordenada en el eje X es es llamado punto
de inflexión, en el ejemplo corresponde su coordenada al valor
de x = -1. |
Pues bien se dice que x* es un punto de
inflexión de la función f( x ) si: f '' (
x* ) =
0, y además f '' (x* - h) y f '' (x*
+ h) tienen distinto signo. |
Veamos un ejemplo. Existe una función muy importante que
usted estudiará en Probabilidades, y ésta es |
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y cuya gráfica luce de la siguiente forma |
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Sin ninguna dificultad se demuestra que la segunda
derivada de esta función es |
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Y en consecuencia, las raíces reales de esta función
son x = -1 y x = 1. Se puede verificar que, a modo de
ejemplo, n``( -1.111) y n``(-0.999) tienen distinto signo,
al igual que n``( 1.111) y n``(0.999), lo que nos indica
que los puntos x = -1 y x = 1 son los puntos de inflexión
de la función n( x ). |