La derivada es la herramienta más poderosa inventada por el hombre. El año de su invento se llama annus mirabilis, que fue el año en que Isaac Newton estableció la Teoría de la Gravitación Universal y el Cálculo Diferencial, y este "año maravilloso" fue el de 1666. (En rigor trabajó entre 1665 y 1666). Desde hace 2006 - 1666 = 340 años (suponemos que usted lee estos apuntes en el año 2006, conforme lo lea en años venideros efectué la resta pertinente) la herramienta matemática llamada derivada parece inmutable explicando la gran parte de los fenómenos de la naturaleza.

La derivada como tal, paradójicamente, no existe en la naturaleza, es un invento del cerebro humano que sirve para explicar el desarrollo dinámico de la mayoría de los fenómenos naturales. Históricamente la derivada sirvió para el estudio de la posición dinámica de un objeto a través del tiempo. Esto es si la posición de un objeto es conocida en cualquier momento entonces podemos conocer la velocidad de su desplazamiento. Sin embargo esta concepto se puede extender a problemas de crecimiento, de cualquier tipo de crecimiento. En efecto, supongamos que conocemos la cantidad de seres vivos en cualquier instante de tiempo, que denotaremos como N( t ). Esto es, N( t ) es la cantidad de seres vivos que hay en el instante de tiempo t. De manera que N( t + Dt) será la cantidad de seres vivos que hay en el instante de tiempo t + Dt. Y entonces el crecimiento (o decrecimiento) de seres vivos en el intervalo de tiempo [ t , t + Dt] será de

N( t + Dt) - N( t ) (1)

De otra forma, el valor que resulta de la expresión en (1) es la cantidad de crecimiento neto durante el intervalo de tiempo [ t , t + Dt]. Ahora si la cantidad obtenida en (1) es negativa se interpretará como la cantidad de decrecimiento en el intervalo [ t , t + Dt]. Como quiera que sea hablaremos de crecimiento (entendiendo que si es negativa, pasará a ser decrecimiento). Podemos hacernos la siguiente pregunta ¿Cuántos seres vivos nacen por unidad de tiempo, en el íntervalo [ t , t + Dt]? Y la respuesta es claramente la siguiente:

(2)

Esto es, la división entre el crecimiento por la longitud del intervalo en estudio. Observe que las unidades de (2) son número de seres vivos por unidad de tiempo. Además el valor de la expresión (2) va a depender del valor de Dt, esto es de la longitud del intervalo [ t , t + Dt]. A medida que este intervalo sea más pequeño, para un instante de tiempo t fijo, la cantidad en (2) eventualmente puede ir variando (o a lo mejor no). Pues bien, lo que inventó Newton es ver si la expresión dada en (2), que en su honor se llama el cociente de Newton, converge a un número cuando Dt es una cantidad "pequeñísima". ¿Qué significa "pequeñísima" en nuestro contexto? Significa simplemente una cantidad muy próxima al cero. Y la acción de ir evaluando el cociente de Newton para valores pequeñísimos de Dt los matemáticos lo escriben como

(3)

Y la lectura es la siguiente "límite del cuociente de Newton cuando Dt tiende a cero". Si la cantidad (3) existe entonces se llama la derivada de la función N( ) , evaluada en el tiempo t. Y se escribe como

(4)

Volvemos a insistir que el número N `(t) tiene como unidades, en nuestro ejemplo, número de seres vivos que nacen por unidad de tiempo.

La expresión (4) no se "ve" en la naturaleza, y esto es a causa del complejo proceso de límite. Sin embargo, una vez que tengamos calculada la expresión dada en (4) podemos decir que en un intervalo [ t , t + Dt] bastante pequeño, es decir para un Dt determinado y muy pequeño, tenemos que

de tal manera que

despejando N(t + Dt) nos queda

(5)

Y esta ecuación sí que existe en la naturaleza.

La ecuación dada en (5) tiene la siguiente interpretación sencilla. Los seres vivos que hay en el tiempo t + Dt será igual a la cantidad de seres vivos que había en t más la cantidad de seres que nacen en el intervalo [ t , t + Dt]. Y los seres que nacen en el intervalo de tiempo t es aproximadamente N´( t )^.Dt (número de seres vivos que nacen por unidad de tiempo multiplicado por el tiempo transcurrido).

Las ecuaciones (4) y (5) prácticamente significan lo mismo.

Ejemplo 1.

Veamos un sencillo ejemplo. Supongamos que el crecimiento de un determinado tipo de bacterias sigue el crecimiento exponencial de la forma

(6)

donde tanto N( 0 ) como k son constantes conocidas, y evidentemente N( 0 ) significa el número de bacterias que hay al inicio del estudio (de otra forma, el número de bacterias en el tiempo t = 0). Entonces, el número de bacterias que habrá en el tiempo t + Dt será de

Luego el crecimiento efectivo en el intervalo de tiempo [ t , t + Dt] será de

y en consecuencia el número de bacterias que nacen por unidad en el intervalo [ t , t + Dt] será

La derivada de (6) estará calculada toda vez que sepamos calcular el siguiente límite

y no es difícil verificar que este límite es precisamente

De manera tal que la derivada, o de otra forma, la "velocidad de crecimiento de las bacterias", o de otra forma el número de bacterias que crecen por unidad de tiempo es de

(7)

Observemos que la expresión (7) nos dice que puede haber un crecimiento negativo si k es negativo.

Notemos que N( t ) es la función que denota el número de bacterias que hay en el tiempo t, y N´( t ) es la función que denota el número de bacterias que nacen por unidad de tiempo, en el instante t.

Ejemplo 2.

Veamos un ejemplo más sencillo. Suponga que la posición de una partícula que se mueve horizontalmente está determinada por la ecuación f( t ) = t² + 3 t + 5. Aclaremos que f( t ) tiene unidad de distancia y t tiene unidad de tiempo, metros y segundos, respectivamente, por ejemplo. Vamos a estudiar el comportamiento dinámico de esta partícula. En el instante t + Dt el móvil se encuentra en

de manera que el "cambio de posición" del móvil desde el tiempo t hasta el tiempo t + Dt está dado por

Formando el cociente de Newton, nos queda

Este cociente significa el cambio de desplazamiento por unidad de tiempo, o si se quiere la variación del desplazamiento por unidad de tiempo.

si hacemos que Dt tienda a cero obtenemos la derivada, esto es

Las unidad de esta derivada es unidad de distancia por unidad de tiempo, esto es unidad de velocidad. De manera que en este caso la derivada de la función corresponde a la velocidad. Y su interpretación es muy sencilla a la luz de la ecuación (5). En efecto

que nos dice que la nueva posición del móvil en el instante t + Dt es igual a la antigua posición en el tiempo t más lo que se ha desplazado durante el intervalo de tiempo [ t , t + Dt], y este desplazamiento es justamente la velocidad por el tiempo Dt transcurrido.

El concepto de Derivada