Nació: alrededor del 262 a. de C. en Perga, Panfilia, Grecia Jónica
(ahora Murtina, Antalia, Turquía)
Murió: alrededor del 190 a. de C. en Alejandría, Egipto.
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Apolonio de Perga era conocido como 'el gran geómetra'.
Sabemos poco de su vida pero sus trabajos tuvieron una gran influencia
en el desarrollo de las matemáticas, en particular su famoso libro
Las cónicas1 introdujo términos tan familiares hoy en día
como parábola2, elipse3 e hipérbola4.
Apolonio de Perga no debe ser confundido con otro estudiosos griegos
llamados Apolonio, ya que éste era un nombre muy común. En [1] se dan
detalles de otros con ese mismo nombre: Apolonio de Rodas, nacido
alrededor del 295 a.C., poeta y gramático griego, alumno de Calímaco que
fue maestro de
Eratóstenes; Apolonio de Tralles, siglo II a. de C. escultor griego;
Apolonio el ateniense, siglo I a. de C., escultor; Apolonio de Tiana,
siglo I, miembro de la sociedad fundada por Pitágoras; Apolonio Díscolo,
siglo II, gramático griego que es conocido por ser el fundador del
estudio sistemático de la gramática; y Apolonio de Tiro que es un
personaje literario.
Apolonio el matemático nació en Perga, Panfilia, lo que es hoy conocido
como Murtina, o Murtana y se encuentra en Antalia, Turquía. En esa
época, Pérgamo era conocido como centro cultural y además era el lugar
en el que se hallaba el santuario de la diosa Artemisa. De joven
Apolonio fue a Alejandría donde estudió con los seguidores de
Euclides y donde más tarde él mismo daría clases. Apolonio visitó
Pérgamo lugar en el que existía una universidad y una biblioteca
similares a las de Alejandría. Pérgamo, hoy la ciudad de Bergama en la
provincia turca de Izmir, era una antigua ciudad griega de Misia. Estaba
situada a 25 kms. del mar Egeo sobre una colina en el lado norte del
amplio valle del río Caicus (hoy río Bakir).
Mientras Apolonio estuvo en Pérgamo se encontró con Eudemo de Pérgamo
(no confundir con Eudemo de Rodas que escribió la Historia de la
Geometría) y también con Atalo, considerado por algunos como el rey
Atalo I de Pérgamo. En el prefacio a la segunda edición de su Las
cónicas, Apolonio se dirigió a Eudemo (ver [4] o [5]):
Si estás saludable y las cosas están en otros asuntos como
deseas, todo está bien; yo también me siento moderadamente bien.
Durante la época que estuve contigo en Pérgamo observé tu impaciencia
por pasar a limpio mi trabajo 'Las cónicas'.
Lo único que sabemos sobre la vida de Apolonio lo encontramos en el
prefacio de las diferentes ediciones de Las cónicas. Sabemos que
tuvo un hijo, llamado como él, y de hecho sabemos también que su hijo
llevo la segunda edición de Las cónicas desde Alejandría hasta
Eudemo en Pérgamo. También sabemos partiendo del prefacio del libro que
Apolonio presentó al geómetra Filónidas a Eudemo mientras estuvieron en
Éfeso.
Sabemos bastante más sobre los libros que escribió Apolonio. Las
cónicas estaba dividido en ocho volúmenes pero tan sólo los cuatro
primeros han perdurado en el griego original. En árabe, sin embargo,
podemos encontrar los siete primeros.
Debemos remarcar en primer lugar que para Apolonio las secciones cónicas
son por definición las curvas formadas por un plano que intersecta la
superficie de un cono. Apolonio explica en su prefacio cómo llegó a
escribir su famoso trabajo 'Las cónicas' (ver [4] o [5]):
... comencé investigando esta materia a petición de Náucrato el
geómetra en la época en la que vino a Alejandría y permaneció conmigo,
y, cuando terminé los ocho libros se los entregué en el momento, muy
deprisa, porque estaba marchándose por mar; no habían sido revisados,
de hecho los escribí de un tirón, posponiendo su revisión hasta el
final.
Los libros I y II de Las cónicas comenzaron a circular sin
ninguna revisión, de hecho hay evidencias de que ciertas traducciones
que han llegado a nosotros proceden de esos primeros manuscritos.
Apolonio escribe (ver [4] o [5]):
... algunas personas también, entre mis conocidos, consiguieron
el primer y el segundo libro antes de que los corrigiera. ...
Las cónicas se dividía en 8 volúmenes. Del uno al cuatro
forman una introducción elemental a las propiedades básicas de los
conos. La mayor parte de los resultados de estos libros eran conocidos
por
Euclides, Aristeo y otros pero algunos son, en palabras del propio
Apolonio:
... más trabajados y generalistas que en los escritos de otros.
En el libro uno se estudian las relaciones entre los diámetros y
tangentes5 de los conos, mientras que en el libro dos
Apolonio investiga como se relacionan las hipérbolas con las asíntotas6,
y estudia además como dibujar tangentes para conseguir conos. Hay, sin
embargo, nuevos resultados en estos libros, en particular en el tercero.
Apolonio escribe de este texto (ver [4] o [5]):
... los mejores y más hermosos de estos teoremas son nuevos, y
su descubrimiento me advirtió que Euclides no consiguió la síntesis de
los lugares geométricos7 con respecto a tres o cuatro
líneas, sino tan sólo una pequeña porción, y sin éxito; porque no era
posible para tal síntesis ser completada sin la ayuda de los teoremas
que he descubierto.
Los libros V al VII son muy originales. En ellos Apolonio discute las
normales8 a las cónicas y muestra cuantos pueden dibujarse a
partir de un punto. Da proposiciones determinando el centro de curvatura
que conduce a la ecuación cartesiana de la evoluta9. Heath
escribe del libro cinco [5]:
... es el más importante de los libros. Trata de normales a las
cónicas vistas como líneas rectas máximas y mínimas dibujadas desde
los puntos particulares de una curva. Incluido en él existen una serie
de proposiciones las cuales, aunque resueltas mediante los más puros
métodos geométricos, conducen directamente a la determinación de la
evoluta de cada uno de las tres cónicas; o lo que es lo mismo, las
ecuaciones cartesianas de las evolutas pueden ser fácilmente deducidas
de los resultados obtenidos por Apolonio. No hay ninguna duda de que
el libro es casi todo original y es un verdadero 'tour de force'
geométrico.
La belleza de los Las cónicas de Apolonio puede adivinarse
fácilmente leyendo las proposiciones de Heath, ver [4] o [5]. Sin
embargo, Heath explica en [5] lo difícil que resulta leer el texto
original:
... el tratado es un gran clásico que merece ser mejor conocido
de lo que es en realidad. Lo que lo hace tan difícil de leer en su
forma original es la enorme extensión de la exposición (contiene 387
proposiciones separadas), debido principalmente al hábito de los
griegos de demostrar casos particulares de una proposición general de
forma separada a la propia proposición, pero más a la voluminosidad de
los enunciados de complicadas proposiciones en términos generales (sin
la ayuda de letras para marcar puntos particulares) y a la elaboración
de la forma euclidiana, a la que Apolonio se adhiere de forma
absoluta.
Pappo proporciona algunas indicaciones del contenido de los restantes
seis libros de Apolonio. Eran: Corte de una razón (en dos
libros), Corte de un área (en dos libros), Determinación de
una sección (en dos libros) y Construcciones (en dos libros).
Corte de una razón sobrevive en árabe y el bibliógrafo del siglo
X Ibn al-Nadim nos dice que otros tres trabajos fueron traducidos al
árabe aunque ninguno de ellos ha llegado a nuestros días.
Para ilustrar lo lejos que llegó Apolonio en su geometría comparándola
con los Elementos de
Euclides podemos considerar los resultados que se sabe estaban
contenidos en Tangentes. En el libro III de los Elementos,
Euclides muestra cómo dibujar un círculo mediante tres puntos dados.
En Tangentes, Apolonio muestra cómo construir el círculo
tangencial a tres líneas dadas. De forma más general muestra cómo
construir el círculo que es tangente a tres objetos cualesquiera, sean
puntos, líneas o círculos.
En [11] Hogendijk cuenta que dos trabajos de Apolonio, que se desconocía
que estuvierann traducidos al árabe, eran conocidos por geómetras
musulmanes del siglo X. Son los trabajos Plane loci y
Construcciones. En [11] se describen algunos resultados de esos
trabajos que desconocíamos fueran demostrados por Apolonio.
De otras fuentes surgen referencias a más trabajos de Apolonio, ninguno
de los cuales ha perdurado. Hípsiclo hace referencia a un trabajo de
Apolonio en el que compara un dodecaedro10 y un icosaedro11
inscritos en la misma esfera, que como Las cónicas apareció en
dos ediciones. Marino, escribiendo un comentario sobre los datos de
Euclides, hace referencia a un trabajo general de Apolonio en el que
se discuten los fundamentos de las matemáticas tales como el significado
de los axiomas. Apolonio también escribió sobre las hélices cilíndricas
y otro sobre los números irracionales12, así lo menciona
Proclo. Eutocio hace referencia a un libro de Apolonio en el que obtiene
una aproximación para π mejor que la de
223/71 < π < 22/7
conocida por
Arquímedes. En El espejo ardiente, Apolonio demostró que los
rayos paralelos de luz no se concentran en un foco por un espejo
esférico (como se creía con anterioridad) y discutió las propiedades
focales de un espejo parabólico.
Apolonio también fue un importante fundador de la astronomía matemática
griega, que utilizaba modelos geométricos para explicar la teoría
planetaria.
Ptolomeo en su libro Sintaxis introdujo sistemas de
movimiento excéntrico13 y epicíclico14 para
explicar los movimientos aparentes de los planetas a través del cielo. Y
esto no es del todo cierto ya que la teoría de epiciclos parte de las
ideas de Apolonio.
Apolonio hizo contribuciones sustanciales usando sus grandes destrezas
geométricas. Particularmente hizo un estudio de los puntos donde un
planeta aparece estacionario, nombrando los puntos donde el movimiento
hacia delante cambia a retrógrado o a la inversa.
Hubo otras aplicaciones hechas por Apolonio, usando su conocimiento
sobre los conos, para resolver problemas prácticos. Desarrolló el
hemiciclo, un reloj solar que marcaba las líneas de las horas en la
superficie de una sección cónica proporcionando mayor precisión.
Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive
Glosario
- Una cónica o sección cónica es una de las curvas
(círculo, parábola, hipérbola o elipse) que pueden obtenerse
intersectando un plano y un cono (de doble lado).
- Una parábola es una de las secciones cónicas. Se puede
definir como el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran
a la misma distancia de una recta fija (directriz) y de un punto fijo
(foco). También se puede definir usando coordenadas cartesianas como
el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación y = x2.
- Una elipse es una de las secciones cónicas. Puede definirse
como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante
e que es < 1. A e se le llama la excentricidad de la elipse.
También se le puede definir mediante coordenadas cartesianas como el
conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax2
+ by2 = 1.
- Una hipérbola es una de las secciones cónicas. Se puede
definir como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma
de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una
constante e > 1, o mediante coordenadas cartesianas como el
conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax2
- by2 = 1.
- Una tangente a una curva en el punto p es la mejor
aproximación lineal a la curva cerca de ese punto. Puede verse como el
límite de todas las secantes desde el punto p a otros puntos
cercanos a p. Si dos curvas tienen una tangente común en el
punto de intersección, entonces se dice que las curvas se tocan
o son tangentes.
- Una asíntota a una curva es una línea recta (o, de manera
más general, otra curva) que está arbitrariamente cerca de la curva.
Una hipérbola tiene un par de líneas rectas como asíntotas.
- Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que comparten
una propiedad común. Por ejemplo, una circunferencia es el lugar
geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo (centro)
es constante.
normal
- La evoluta de una curva es la envolvente de las normales
a la curva. También puede considerarse como el lugar geométrico de los
centros de curvatura.
- Un dodecaedro es un poliedro regular con 12 caras, cada una
de las cuales es un pentágono regular.
- Un icosaedro es un poliedro regular con 20 caras, cada una
de las cuales es un triángulo equilátero.
- Se dice que un círculo está inscrito en un triángulo u otro
polígono si los lados de éste último son tangentes al círculo. Se dice
entonces que el polígono está circunscrito al círculo. Al círculo
inscrito en un triángulo se le llama incírculo y a su centro,
incentro.
- Un número irracional es un número real que no es racional,
es decir, que no puede escribirse como el cociente (división) de dos
números enteros. Ejemplos: π, e, √2.
- La teoría excéntrica es la que plantea que los planetas se mueven
en círculos cuyos centros no coinciden con la Tierra.
- Una epicicloide es la curva que dibuja el centro de un
círculo que se arrastra alrededor de otro círculo. Los epiciclos
fueron introducidos originalmente para explicar las órbitas de cuerpos
planetarios entre las estrellas fijas.
Bibliografía