| El movimiento de un automóvil en una carretera está esencialmente determinado si conocemos su posición s como función del tiempo: |
|
s = S ( t ) (1) |
|
|
| El gráfico que vemos representa la función S( t ) como una curva en el plano s - t llamada la trayectoria del vehículo. Esta figura muestra la posición de un auto que se aproxima y pasa un "cuello de botella" ubicada en la carretera. Esta trayectoria particular puede ser construida a partir de una serie de exposiciones fotográficas. Por ejemplo, en este caso, el tiempo de cada exposición está en segundos y la distancia en metros, los correspondientes valores de s y t pueden ser calculados en esta gráfica. Los postes del alumbrado están ubicados cada 50 metros. |
| El problema fundamental en el estudio del movimiento de un automóvil (o de una partícula, aquí el punto del automóvil se considera el punto medio ubicado en el parachoques frontal) es encontrar la velocidad como función del tiempo, a partir del conocimiento de la trayectoria S( t ). |
|
Si la velocidad fuese constante, ella puede calcularse como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo transcurrido, esto es |
|
|
| de tal forma que la trayectoria de tal movimiento está modelada por la línea recta s = vt. Y es evidente que no es el caso que se describe en la gráfica anterior. Más aún si en algún momento el móvil sigue una trayectoria recta es porque toma una velocidad constante. Y como vemos aquí, en la gráfica, en ningún intervalo de tiempo la trayectoria es un segmento de línea recta. Aquí surge la dificultad para el cálculo de la velocidad en cualquier instante de tiempo. |
| Vamos a calcularla pensando "en pequeño", en intervalos de tiempo pequeñísimo, por ejemplo el intervalo [t, t + Dt] con Dt muy pequeño, la velocidad es "casi" constante, o de otra forma si el intervalo [t, t + Dt] es pequeño la velocidad no varía mucho de una cantidad constante. De otra forma, segmentos pequeños de trayectorias se pueden considerar como una línea recta, de tal forma que podemos calcular la velocidad en su forma más simple (cuando es constante): la distancia recorrida dividida por el tiempo transcurrido. |
| La distancia transcurrida en el intervalo de tiempo [t, t + Dt] es S ( t + Dt ) - S ( t ), de tal forma que la velocidad es |
|
|
| Volvemos a insistir, la igualdad en (2) es la velocidad que lleva el automóvil (o la partícula) durante el intervalo de tiempo [t, t + Dt]. De modo que para pequeños valores de Dt la velocidad en (2) puede ser computada, de hecho los radares-pistolas de la policía calculan así la velocidad del automóvil que están apuntando. |
| Cuando Dt se hace más pequeño, y por ende Ds, la expresión en (2) llega a ser cada vez más precisa, y en un proceso de límite cuando Dt tiende a cero se tiene la velocidad instantánea del móvil en el instante t, esto es |
|
|
| La expresión en (3) es la que justifica la siguiente notación para derivadas (debido al Leibnitz): |
|
|
(2)
(3)