Primera guía sobre Probabilidades

1. Sea un cuestionario de n preguntas con respuestas múltiples. Suponga que el número de respuestas múltiples es el mismo para las n preguntas, digamos m. Suponga además que cualquier pregunta del cuestionario no da ninguna información a otra pregunta, de otra manera las preguntas del cuestionario son independientes entre si (y por lo tanto sus respuestas). Suponga además que si el estudiante sabe la respuesta del problema (ha estudiado el problema) entonces con toda seguridad responderá correctamente, por el contrario, si no sabe la respuesta intentará adivinar la respuesta correcta. Suponga que p_i es la probabilidad de que el estudiante conozca la respuesta de la i-ésima pregunta del cuestionario (es decir con probabilidad p_i ha estudiado el problema i). Responda lo siguiente:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante responda correctamente el i-ésimo problema?

b) ¿Dado que respondió correctamente la pregunta i, cuál es la probabilidad de que el estudiante haya estudiado realmente el i-ésimo problema?

c) Dado que el estudiante contestó correctamente todos los problemas, ¿cuál es la probabilidad de que no haya estudiado todos los problemas?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste correctamente todas las preguntas?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante se equivoque en solamente una respuesta de los n problemas?

f) Dado que el estudiante no ha estudiado los problemas: ¿cuál es la probabilidad de que conteste correctamente todos los problemas? ¿probabilidad de que no conteste correctamente ningún problema?

g) Dado que el estudiante no ha estudiado todos los problemas. ¿Cuál es la probabilidad de que no conteste al menos una pregunta correctamente?

h) ¿Cuál es la probabilidad de que no responda correctamente en al menos tres problemas?

i) Si se define el índice (conjunto) de verosimilitud como el cociente entre la probabilidad de que conteste correctamente dado que conoce todos los problemas y la probabilidad de que conteste correctamente todos los problemas dado que no estudio ningún problema, calcule este índice.

2. Suponga que existen n partículas, de tal forma que cada partícula puede estar en k estados de niveles de energía, donde la elección de estado de cada partícula es independiente del resto de las otras partículas. Suponga que con probabilidad p_i una partícula puede alcanzar el nivel i, con i = 1, .., k, donde Sp_i = 1. Calcule la probabilidad de que n₁ partículas se encuentren en el nivel 1, n₂ partículas en el nivel 2, ..., n_k partículas en el nivel k, donde Sn_i = n.

4. (Este problema es el "crap" disfrazado) Una empresa trasnacional produce un determinado artículo. El departamento de calidad clasifica el artículo en cinco categorías de calidad. A, B, C, D y F, donde A es la categoría de excelencia, y F es la menos buena. La manufacturación de cada artículo es un proceso independiente. Estudios de muestreo realizados por el mismo departamento han determinado que las probabilidades de calidad de un artículo son las siguientes: Pr{A} = 8/36, Pr{B} = 6/36, Pr{C} = 8/36, Pr{D} = 10/36, Pr{F} = 4/36. Una empresa que compra los artículos anualmente a la trasnacional tiene la siguiente política de compra. Revisa cada artículo en forma secuencial de manera que, si el primer artículo tiene la categoría A entonces se detiene el proceso de revisión y se dice que la producción ha sido exitosa, y en consecuencia compra una gran partida; si el primer artículo que revisa es de la categoría F, entonces considera que la producción no es exitosa y en consecuencia no compra. Ahora si el primer artículo no está en la primera (A) ni en la última categoría (F), se continua revisando artículo tras artículo hasta encontrar uno de la misma categoría que el primero o uno de la categoría A, antes que aparezca un artículo F. Si ocurre lo primero, la empresa declara que la producción ha sido exitosa también, y en consecuencia compra una gran partida, en caso contrario, declara que la producción tiene fallas, y en consecuencia no compra. ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa compre una gran partida?

5. Suponga que se construye una circunferencia en el interior de un cuadrado de lado 1 cm. centrada de manera simétrica, y de radio 1/2 cm.

(a) Se generan dos números aleatorios, x e y de manera independiente y cada uno de ellos contenido en el intervalo [0, 1], ¿cuál es la probabilidad de que el punto (x, y) se encuentre en el interior de la circunferencia?

b) Suponga ahora que se generan tres puntos aleatorios cada uno de ellos contenido en el intervalo [0, 1]², de la misma forma anterior. Se pide calcular la probabilidad de que dos de ellos, a lo menos, estén contenidos en el interior de la circunferencia.

c) Suponga ahora que se construye una figura en cualquier parte del interior de un rectángulo de área A, y este figura tiene un área Dt. Supongamos que se generan N puntos de la forma (x, y) de manera independiente que están en el interior de A. Determinar un modelo para calcular la probabilidad de que n puntos de los N, (n < N), se encuentren en el interior de la región de área Dt.

d) Suponga que Dt = 0.01*A, y que N = 10⁴. Entregue un método para calcular, sin necesariamente calcular si es que su calculadora no tiene capacidad de cálculo, la probabilidad de encontrar 1000 puntos en el interior del área Dt.

6. Suponga que el número de vehículos que se puede encontrar en una carretera de longitud x (kilómetros) está dada por una distribución de Poisson de parámetro lx, con l = 20 (vehículos por cada 10 kilómetros)

a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a lo menos un vehículo en un trecho de carretera de longitud 1 kilómetro?

b) Suponga tres segmentos de carretera no traslapados, de longitud dos kilómetros cada uno, ¿cuál es la probabilidad de encontrar, en dos de estos tres segmentos, exactamente dos vehículos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un vehículo en un segmento de carretera de longitud 100 metros?

d) Un vehículo, en promedio, mide L = 6 metros, en el lenguaje del tránsito vehicular se dice que hay un "taco" cuando la densidad vehicular r, esto es el número de vehículos por unidad de longitud es igual a 1/L. Demuestre que la probabilidad de que en un segmento de carretera de longitud 1 kilómetro ocurra un "taco" es prácticamente nula.

7. (Problema de última hora) Se dice que una matriz cuadrada M = (p_ij) es de Markov si: (i) es no negativa; y (ii) la suma de los elementos de cada fila es 1, esto es S_ip_ij = 1. Demuestre que M² sigue siendo una matriz de Markov (en realidad es que Mⁿ sigue siendo de Markov para todo n entero positivo)