Primera guía sobre Probabilidades

Tema: Probabilidad discreta uniforme con análisis combinatorio y probabilidad condicional.

1. Considere una urna que contiene M bolas de r colores diferentes. Sean M₁, M₂, ... , M_r, el número de bolas de color 1, color 2, ... , color r, respectivamente. Demuestre que la probabilidad de que una muestra de tamaño n, contenga k₁ bolas de color 1, k₂ bolas de color 2, ... , k_r bolas de color r, donde k₁ + k₂ + ... + k_r = n, se determina en el caso de muestreo con reemplazo mediante

Sugerencia: El número de muestras de tamaño n que contenga k₁ bolas de color 1, k₂ del color 2, ..., k_r bolas del color r es igual al número de maneras en que se puede particionar un conjunto de tamaño n en r subconjuntos ordenados de tamaño k₁, k₂, ..., k_r respectivamente.

2. Considere una urna que contiene n bolas, cada una de un color diferente. Sea r cualquier entero. Demuestre que la probabilidad de que una muestra de tamaño r, extraída con reemplazo, contenga r₁ bolas de color 1, r₂ bolas de color 2, ..., r_n bolas de color n, donde r₁ + r₂ + ... + r_n = r, se determina por

3. Una urna que contiene M bolas numeradas del 1 al M. Designemos N números como afortunados, donde N es menor o igual a M. Sea una muestra de tamaño n extraída con o sin reemplazo (en cuyo caso n es menor o igual a M). Encuentre la probabilidad de que la muestra contenga exactamente k bolas con números afortunados para cada caso.

4. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo menos dos personas, entre n personas, celebren el cumpleaños el mismo día?

Nota: Para simplicidad en los cálculos considere que un año tiene 365 días (deseche los años bisiestos)

5. Demuestre las siguientes desigualdades, para cualquier evento A, B y C, tal que Pr(C) > 0. Estas relaciones ejemplifican el hecho de que todos los teoremas generales de probabilidades son también válidos para probabilidades condicionales con respecto a cualquier evento particular C.

i) Pr ( S / C ) = 1 donde S es el evento seguro o espacio muestral

ii)) Pr ( A / C ) = 1 si C es un subevento de A

iii) Pr ( A / C ) = 0 si Pr (A) = 0

iv) Pr ( A U B / C) = Pr (A / C) + Pr (B / C ) - Pr ( AB / C ) Nota : AB significa "A intersección B"

v) Pr ( A^C / C) = 1 - Pr ( A / C )

6. Una urna contiene M bolas, de las cuales M_B son blancas (donde M_B menor o igual a M). Sea una muestra de tamaño n, extraída de la urna ya sea con reemplazo o sin reemplazo. Para j = 1, 2, ..., n, sea B_j el evento de que la bola observada en la j - ésima extracción es blanca. Para k = 1, 2, ..., n, sea A_k el evento de la muestra (de tamaño n) contiene exactamente k bolas blancas. Demuestre que Pr ( B_j / A_k ) = k / n.

7. Una urna contiene M bolas, de las cuales M_B son blancas; se extraen n bolas, se ponen aparte (no se devuelve a la urna); y no se anota su color. Se extrae otra bola de la urna (se supone que n es menor que M). ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?