1. Los datos siguientes representan en centímetros las longitudes de 50 artículos producidos por una máquina.

4.15; 4.27; 4.62; 4.68; 4.68; 4.80; 4.86; 4.92; 4.98; 5.15; 5.15; 5.27; 5.27; 5.33; 5.33; 5.33; 5.39;

5.45; 5.51; 5.51; 5.57; 5.63; 5.63; 5.63; 5.63; 5.74; 5.86; 5.86; 5.86; 6.02; 6.02; 6.04; 6.10; 6.3;

6.66; 6.66; 6.66; 6.75; 6.92; 6.98; 6.98; 7.10; 7.14; 7.22; 7.22; 7.30; 7.38; 7.54; 7.70; 7.72

1. Construya una tabla de frecuencias completa para los datos.
2. Construya un histograma y polígono de frecuencias para la tabla construida en a).
3. Si el 25% de los artículos de menor longitud y el 10% de los artículos de mayor longitud son considerados defectuosos por el Dpto. de Control de Calidad. Indique ¿Entre qué longitudes los artículos serán considerados aceptables?

2. En enero los obreros de una empresa tenían un sueldo promedio de $56000, con un coeficiente de variación de 0.005, y los empleados tienen sueldos con una varianza de 90000. El sueldo promedio total de todos los trabajadores es $79667.En junio cada obrero recibió un reajuste del 10%, mientras que cada empleado recibió un bono de producción de $12000. En octubre los obreros piden un reajuste del 20%, y los empleados piden un reajuste del 15% más un bono de $20000.

        La empresa acoge parcialmente las peticiones, rebajando lo solicitado por los empleados en un k %. Si el número de empleados es un tercio del número de obreros:

1. ¿Cuál es el sueldo promedio de los empleados en enero?
2. ¿Cuál es el coeficiente de variación total en junio?
3. Suponga que la gerencia de la empresa desea después del reajuste en octubre que la desviación estándar de los sueldos de los obreros sea 1.2 veces la desviación estándar de los sueldos de los empleados ¿En cuánto se debería rebajar lo solicitado por los empleados en octubre?
4. Encuentre el coeficiente de variación total de los sueldos en octubre.

3. Los trabajadores de una Empresa están agrupados en 3 sindicatos: A, B y C, los que presentan las siguientes características:
1. El número de asociados de A es el triple del de B y el número de éstos es la mitad del de C.
2. Los sueldos promedios correspondientes son US $500, US $700 y US $1000.
3. Los coeficientes de variación de los sueldos son 0.15, 0.1 y 0.2 respectivamente.

        A partir del mes de Marzo los sindicatos hacen las siguientes solicitudes:

        A: un reajuste de un 40% y un bono de US $200.

        B: un reajuste del 30% y un bono de US $300

        C: un reajuste del 35%.

La Empresa acoge parcialmente las peticiones, rebajando lo solicitado por cada sindicato en un 10% , lo que es aceptado por los tres sindicatos.

1. Calcule el coeficiente de variación de los sueldos de todos los trabajadores:
1. En el mes de Febrero.
2. En el mes de Marzo.
3. En el mes de Abril
2. Si la Empresa tiene 5000 trabajadores. ¿En qué % subió la planilla total de Marzo respecto de la de Febrero?.

4. En una fábrica existen 90 funcionarios bajo la responsabilidad de un ingeniero jefe. Este quiere mejorar los sueldos cuidando la estabilidad de la Empresa. Observa que en el mes de enero los obreros, que son el doble de los empleados tienen un sueldo promedio de $ 56000 y los empleados un sueldo promedio de $127000. El mejoramiento se piensa realizar en marzo estimando un aumento del sueldo promedio total de un 9.7% sobre el de enero. El ingeniero piensa mejorar los sueldos de los empleados aumentando c/u en B pesos, mientras los sueldos de los obreros mejoren por la aplicación de un factor A.

Si se pretende aumentar la desviación estándar de los sueldos de los obreros en marzo sólo en un 10% respecto de la de enero, calcule el factor de reajuste A y el aumento de sueldo B.

5. En una empresa donde los salarios tienen una media de 700 dólares y una desviación estándar de 150 dólares, el sindicato solicita un reajuste de 25% más un incentivo de 10 dólares. El Directorio acoge parcialmente la petición rebajando los salarios solicitados en un 10%.

   a) El Sindicato se declara satisfecho en sus negociaciones si el sueldo promedio final aumenta por lo menos en un 20% respecto de su valor actual. ¿Se logra ésto aceptando la proposición del Directorio? Justifique su su respuesta.

   b) El Sindicato pretende con su proposición aumentar la homogeneidad de los sueldos de sus afiliados ¿Se logra este objetivo aceptando la proposición del Directorio? Fundamente su respuesta.

   c) Si en la Empresa laboran 500 funcionarios ¿En qué porcentaje aumentó la planilla de sueldos respecto a la planilla inicial?

    

6. Una fábrica vende tres tipos de productos A, B y C. Los artículos A producidos por la fábrica son el doble que los artículos B y la tercera parte de los artículos C. El costo medio de A es de $5200 y su desviación estándar es de $100.6. El costo medio de C es de $3500 con una varianza de $19684.09. El costo medio total (artículos A,B,C juntos) es de $4000 con un coeficiente de variación total de 0.5.

Se requiere aumentar los precios para lograr un costo medio total de $5000 aumentando en un 3% el costo unitario del producto A y en un 7% el costo unitario del producto B.

 

1. ¿Cuál es el costo medio inicial y la varianza del artículo B?
2. ¿En qué porcentaje variará el costo del artículo C?

¿En qué porcentaje cambió el coeficiente de variación total?

7. Un grupo de ingenieros encargados de la seguridad de la mina de carbón MULATA, desean analizar la relación entre el porcentaje de gas metano (Y) concentrado en el aire de la mina y la profundidad (X) de donde se toma la muestra (en metros), a través del análisis de 20 recipientes de aire seleccionados de la mina a distintas profundidades, en diciembre de 1998. Los resultados fueron los siguientes:

1. Identifique los siguientes conceptos:
1. Población analizada.
2. Características en estudio.
3. Elementos de la población.
4. Tipo de dato analizado.
2. Con los datos (X,Y) dados anteriormente complete la siguiente tabla bidimensional y a partir de ella responda las preguntas c. y d.:

X\Y		(2.1 ,3.8]		(5.5;7.2]	Total
[10;25]
(40;55]
Total

3. Si los ingenieros aseguran que todos aquellos recipientes cuya concentración de gas metano en el aire sea mayor o igual que 1% y menor o igual que el porcentaje de gas metano más típico de la muestra serán considerados normales. ¿Cuántos recipientes de aire de la muestra serán normales? Fundamente su respuesta.
4. Para los recipientes extraídos a una profundidad mayor que 25 metros y menor o igual que 55 metros, determine:
1. ¿Cuál es el porcentaje de gas metano mínimo del 25% de los recipientes con mayor concentración de gas metano?
2. ¿Cuál es su dispersión relativa? Comente.

8. Los establecimientos detallistas, se encuentran clasificados según el número de empleados X y el número de accionistas Y en la siguiente tabla de distribución de frecuencias:

1. Se afirma que el número de empleados es más homogéneo en aquellos establecimientos cuyo número de accionistas está entre 0 y 10 que en aquellos cuyo número de accionistas está entre 20 y 30. ¿Cuál es su opinión al respecto? Justifique estadísticamente.
2. Un Ingeniero civil asegura que el 20% de los establecimientos con menor número de empleados y el 15% de los establecimientos de mayor número de empleados no son rentables. ¿Entre qué cantidades de empleados se considera un establecimiento rentable, según la opinión del Ingeniero? Justifique su respuesta.
3. ¿Es más frecuente hallar establecimientos con muchos accionistas? Justifique estadísticamente su respuesta.

9. Se desea estudiar la relación entre la fuerza en kilos (Y) ejercida sobre cierto tipo de barras hasta lograr su punto de quiebre y el diámetro en mm. (X). La muestra entregó los siguientes datos:

1. Determine un intervalo centrado en la media geométrica y de longitud dos desviaciones estándar para cada variable analizada. ¿Son comparables estos intervalos?.
2. El 15% de las barras de menor diámetro y el 35% de las barras de mayor diámetro son rechazadas. Determine entre que diámetros las barras son aceptables.
3. Se concluye que el diámetro de las barras cuya fuerza ejercida está entre 50 y 60 kilos es más homogénea que el diámetro de las barras cuya fuerza ejercida está entre 60 y 70 kilos. ¿Está Ud. de acuerdo? Justifique su respuesta

10. La tabla siguiente presenta la frecuencia conjunta del índice octánico del combustible en carretera (X) y la compresión del motor (Y) de 110 automóviles:

1. Se cree que la compresión de los motores de los automóviles es más heterogénea en aquellos automóviles cuyo índice octánico es de 88, que la compresión de aquellos cuyo índice octánico es de 96. Justifique su respuesta.
2. Un mecánico de automóviles descarta los 30 automóviles de menor compresión. ¿Cuál fue el límite de calidad para tomar tal decisión?
3. Calcular el índice octánico mínimo del 45% superior de la distribución de los índices octánicos de los automóviles.

11. En una planta mecánica se analiza la relación entre la velocidad X de un motor (revoluciones por minuto) y la temperatura Y (en ºC) obteniéndose la siguiente información:

1. Construya una tabla completa y un gráfico adecuado para mostrar la velocidad de los motores y en la tabla calcule e interprete: F3 , H2 y la mediana.
2. Para la temperatura de los motores determine un intervalo centrado en la media aritmética y de longitud cuatro veces la desviación estándar.
3. El encargado del Departamento de Control considera que el 20% de los motores de más baja temperatura y el 15% de los motores de más alta temperatura están defectuosos. Determine entre qué temperaturas los motores son considerados satisfactorios.
4. El mecánico jefe afirma que la velocidad de los motores es más homogénea cuando la temperatura está entre 60 y 70 ºC que cuando la temperatura está entre 70 y 80 ºC ¿Qué opina Ud. al respecto? Justifique su opinión.

12. La tabla siguiente muestra la frecuencia conjunta de los pesos X (en gramos) y la longitud Y (en cms.) de pernos ingleses.

1. Construya una tabla completa y un gráfico adecuado para mostrar la distribución de los pernos ingleses según pesos y en la tabla calcule e interprete: N₃ , F₂ y la mediana.
2. ¿En qué tipo de variable hay mayor homogeneidad en la distribución de pernos ingleses?
3. Determine la varianza de la longitud de los pernos ingleses cuando éstos pesen entre 30 y 35 gramos.
4. Se dice que pernos ingleses de pesos altos tienen mayor longitud. Diga si esta afirmación es cierta fundamentando su respuesta con la medida estadística adecuada.

13. Una barra de acero de 18 pulgadas de longitud está sometida a un proceso de endurecimiento cuidadosamente regulado. La dureza (h) se determina en los extremos de la barra en 10 posiciones diferentes, obteniendo los siguientes resultados:

Se necesita determinar un modelo matemático para graduar el cambio en la dureza a lo largo de la barra. El ingeniero a cargo del proceso sugiere los siguientes modelos:

1. donde

2. donde B+C = 1,056

1. ¿Qué modelo escogería usted y por qué? Fundamente estadísticamente.
2. En el modelo escogido, estime los parámetros A, B y C y escriba el modelo final.
3. Calcule el error de estimación cuando la medición de la dureza se efectúa a una distancia de 9 pulgadas del extremo de referencia. ¿ Se puede afirmar con esta información que el ajuste que usted realizó es satisfactorio? Comente.
4. Un especialista afirma que mayor es la dureza si la distancia del extremo de la barra donde es medida aumenta. ¿Está usted de acuerdo? Fundamente con una medida estadística.

14. Un Ingeniero Comercial desea establecer un modelo que relacione la Tasa de descuento (D) del Banco Central y los pasivos bancarios (P). Para lo cual recabó la siguiente información:

El Ingeniero propone los siguientes modelos tentativos para estimar la Tasa de descuento del Banco Central:

1. ¿Qué modelo, de los propuestos, le sugeriría usted al ingeniero comercial para realizar las estimaciones? Fundamente estadísticamente su sugerencia.
2. Estime los parámetros "" y "" del modelo sugerido y escriba su ecuación final.
3. Con el modelo sugerido, estime la tasa de descuento para un pasivo bancario de 4,00 billones de pesos, y encuentre un intervalo de longitud dos errores estandar de estimación que esté centrado en dicho valor estimado.

4. ¿Cuántos billones de pesos de pasivo bancario serán necesarios para evitar que la tasa de descuento sobrepase el 6%?

15. En una experiencia de laboratorio se lograron los siguientes resultados de la variable Y para cada valor de la variable X.

1. Determine cuál de los siguientes modelos es más adecuado para efectuar una regresión de Y sobre X.

; ;

 

2. De acuerdo al modelo escogido, obtenga los estimadores mínimo cuadráticos de y

3. Calcular el error estándar de estimación con el modelo escogido. ¿Qué error se comete en la estimación de Y con X = 3 ?

16. Las siguientes observaciones representan la viscosidad V del benceno (en centipoisos) para diferentes valores de temperaturas T (en ºC) dadas:

Para predecir la viscosidad del benceno se plantean los siguientes modelos:

1. 

2. 

 

1. Justificando su elección, encuentre el modelo más adecuado para realizar dichas predicciones.
2. Estime los parámetros del modelo escogido por el método de los mínimos cuadrados.
3. Determine el error estándar de estimación con el modelo escogido y obtenga un intervalo de longitud 4 e.e.e. para predecir la viscosidad del benceno a los 52.5 ºC.

Nota: La viscosidad se mide en unidades positivas.

17. Una barra de acero de 18 pulgadas de longitud está sometida a un proceso de endurecimiento cuidadosamente regulado. La dureza se determina en los extremos de la barra y en ocho posiciones entre ellos. Las lecturas obtenidas fueron las siguientes :

Para analizar la información anterior se piensa en dos modelos propuestos para estimar la dureza:

i) ii)

1. ¿Qué modelo escogería usted? Fundamente su respuesta con una medida estadística adecuada.
2. En el modelo escogido, estime por el método de los mínimos cuadrados sus parámetros y determine un intervalo de longitud cuatro errores estandar de estimación al estimar la dureza cuando la distancia al extremo de referencia es 9.5 pulgadas.
3. ¿Cuál deberá ser la distancia desde un extremo de la barra de manera que el número de dureza no sobrepase a 500?

18. Las siguientes son las determinaciones de arsénico en mg/l para 10 muestras en dos laboratorios (A y B)

1. ¿Qué laboratorio tiende a proporcionar determinaciones más variables?
2. ¿Cree Ud. que los dos laboratorios tienden a proporcionar las mismas determinaciones?. Justifique

19. Supongamos que en un experimento se han obtenido los siguientes resultados de presión (P) y volumen (V) de un gas.

1. De los modelos siguientes :

i) ii)

 

¿Cuál escogería Ud. para estimar el volumen del gas? Justifique su decisión.

2. Obtenga los estimadores mínimo cuadráticos de los parámetros A y B en el modelo escogido por usted.
3. Determine el error estándar de estimación con el modelo escogido y obtenga un intervalo de longitud dos errores estándar de estimación para estimar el volumen de un gas cuya presión es de 100.