La derivada como un "flujo"

Definamos por V( t ) el volumen del líquido contenido en el recipiente que tenemos al frente en el tiempo t. Note que es un proceso dinámico: a medida que pasa el tiempo entra fluido y sale fluido, de manera que eventualmente el volumen varía respecto del tiempo. Nuestro interés es predecir el volumen V (t + Dt ).

V (t + Dt ) = V (t) + liquido que entra - líquido que sale en [t, t + Dt]

la cantidad de líquido que sale en el intervalo [t, t + Dt] es igual al flujo de líquido que entra en el instante t por la longitud del intervalo, esto es aproximadamente

liquido que entra en [t, t + Dt] = FE(t) Dt

siendo FE(t) la función flujo de entrada. De manera análoga

liquido que sale en [t, t + Dt] = FS(t) Dt

De modo que

donde hemos definido F ( t ) = FE( t ) - FS( t ). Dividiendo por Dt, nos queda

Aplicando límite cuando Dt tiende a cero, nos queda

El flujo resultante en esta dinámica no es nada más que la razón de variación de volumen por unidad de tiempo, es decir la derivada de la función volumen.