La función exponencial

La función exponencial es una de las funciones más frecuentes de la naturaleza. Su definición es

Es una función potencia, donde en el exponente va la variable independiente " x ", y la base es el número " e ". ¿Cuánto vale el número e?

Calculemos la expresión

En un software, como el DERIVE, podemos calcular varios valores para E ( n ), por ejemplo lo que viene a continuación corresponde a las evaluaciones de E ( n ), cuando n = 1, ..., 20
2, 2.25, 2.370370370, 2.44140625, 2.48832, 2.521626371, 2.546499697, 2.565784513, 2.581174791, 2.593742460, 2.604199011, 2.613035290, 2.620600887, 2.627151556, 2.632878717, 2.637928497, 2.642414375, 2.646425821, 2.650034326, 2.653297705
No resulta complicado verificar que

            (1)

Siendo este valor un número aproximado (se ha truncado el verdadero valor hasta el noveno decimal). En rigor

                (2)

donde el número e es un número "trascendental" cuyo valor aproximado es el valor dado en (1).
Aceptando como definición la expresión en (2)  para el número e, podemos deducir que

En efecto, basta hacer el siguiente arreglo algebraico,

y luego pasar al límite cuando x tiende a infinito, esto es

Las propiedades de la función ex son muy buenas.
1. Es una función estrictamente positiva para cualquier x real, y además

2. Es una función estrictamente creciente y corta al eje Y en el plano cartesiano en el valor 1.
A continuación entregamos la gráfica de ex,

Vamos a formar el cociente de Newton con esta función,

de manera que

Vamos a demostrar que

               (3)

En efecto, recordemos que eh se puede aproximar (tanto como queramos) mediante

para un n suficientemente grande. Aplicando el teorema del binomio, nos queda

entonces

Y pasando al límite cuando h tiende a cero, obtenemos la expresión en (3).
Con esto hemos demostrado que

De otra forma, la derivada de ex es ex.