| Una ecuación diferencial en su forma más simple es la
que sigue |
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| donde el superíndice (n) está denotando la
derivada de orden n de f( x ) y a es una
constante distinta de cero. Y en esta ecuación la incógnita es la
función f( x ). Y la ecuación (1) está preguntando
¿cuál es la función f ( x ) tal que su enésima es ella
misma pero multiplicada por la constante a? |
| A modo de ejemplo, |
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(1)
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| Intentaremos resolver esta sencilla ecuación diferencial
dada en (1). Antes notemos que esta ecuación es equivalente a |
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(2)
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| Ahora bien, sabemos que la función ex
tiene la propiedad que su derivada es ella misma, esto es |
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| sin embargo esta última ecuación no es exactamente la
misma que (2) aunque se le parece, falta el factor 2, pues definamos
entonces la función |
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(3)
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| y podemos notar que la derivada de esta función es
(aplicando la regla de la cadena) |
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| Y esta función definida en (3) satisface claramente la
ecuación diferencial (2). ¿es la única? No, pero es una solución
particular de una familia de la misma forma, en efecto, definamos |
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(4)
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| y derivando esta función, obtenemos |
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| de manera que cualquier función del tipo dada en (4) es
solución de la ecuación diferencial (2). |
| Existen otros tipos de ecuaciones diferenciales
sencillas, que más que ecuaciones en rigor nos permiten repasar las
derivadas de funciones más usuales, A modo de ejemplo, resolvamos la
ecuación diferencial |
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(5)
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| Sabemos que la función ln ( x ) tiene su derivada
igual a 1 / x, de modo que la solución general para la ecuación
diferencial dada en (5) es |
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| siendo c cualquier constante real. |
| La ecuación diferencial (5) pertenece a la clase de
ecuaciones diferenciales del tipo |
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| donde la incógnita es la función f( x ) y
la función g ( x ) es conocida y por lo general su
anti-derivada es fácil de reconocer. |
| Veamos un ejemplo. Resolvamos |
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| Como sabemos que la derivada de un polinomio nos entrega
otro polinomio de grado menor en 1, tenemos que la solución general es |
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| A modo de ejercicio resuelva la ecuación diferencial |
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| Esto es, encontrar una función f( x ) tal
que su segunda derivada sea 3sen (6x ). ¡Es muy fácil! |