Varianza muestral

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La cantidad S2 se llama varianza muestral y tiene un valor fundamental en el análisis estadístico, su interpretación es como sigue: es el promedio de las desviaciones cuadráticas respecto de la media.

Si las observaciones están distribuidas en las clases c1, c2, ... ck entonces

Se puede demostrar fácilmente que 

.

Propiedades de la varianza.

Supongamos que tenemos las siguientes observaciones x1, ..., xi, ..., xn, cuya varianza la denotaremos por. Supongamos que sobre cada una de estas observaciones realizamos la siguiente transformación

Entonces para estas nuevas observaciones transformadas linealmente calcularemos su varianza, esto es

Resultado muy lógico a pesar de lo extraordinario. Notemos lo siguiente, que si tenemos una serie de observaciones, a saber, entonces si hacemos un "traslado" de todas estas observaciones a una distancia que nos interesa, como por ejemplo

entonces lo que nos dice la propiedad anterior, que la varianza es la misma que las observaciones anteriores. Es decir que si trasladamos "conjuntamente" las observaciones a otro sitio, las observaciones siguen manteniendo el mismo grado de dispersión.

Finalmente, si hacemos un cambio de escala, es decir multiplicamos cada una de las observaciones por una cantidad constante, entonces la varianza de este cambio de escala será proporcional a la anterior en un factor cuadrático de la cantidad constante.

La siguiente propiedad es de suma importancia. Supongamos que tenemos los siguientes datos estadísticos distribuidos de la siguiente manera:

Supongamos que cada fila tiene media y varianza, con . Entonces la varianza de todas observaciones que son satisfacen la siguiente relación

Veamos su demostración. La varianza total de las observaciones, con; es

Una última propiedad de la varianza que daremos sin demostración es la siguiente: Si tenemos las observaciones, entonces en el intervalo real se encuentra al menos el 75% de las observaciones.

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