La distribución de las estrellas en el firmamento
El siguiente cuadro es una fotografía del cúmulo NGC 7789 (casssiopeia). Y hemos dividido este cúmulo en secciones de áreas rectangulares, de tal forma que podemos contar las estrellas contenidas en cada uno de los rectangulitos. (Nota: entenderemos como "estrella" todo lo que brilla en el firmamento ante nuestros ojos)
Figura 1
Sea X la variable que cuenta el número de estrellas en una región planar del firmamento. Sea R una región en el plano, entonces X(R) se define como el número de estrellas contenidas en la región R, de manera que X(R) puede tomar valores en el conjunto {0, 1, 2, 3, ... }. Ahora bien, diremos que X(R) sigue una distribución de Poisson si
Pr{ X(R) = k } = e l A(R) [l A(R)]k / k!
Siendo l una constante positiva llamado el parámetro de intensidad del proceso, y A(R) representa el área de R.
Si decimos que X(R) sigue una distribución de Poisson de parámetro l A(R) estamos asegurando que la probabilidad de encontrar, por ejemplo 5 estrellas en la región R que tiene un área de A(R) (unidades de longitud al cuadrado), será de
Pr{ X(R) = 5 } = e l A(R) [l A(R)]5 / 5!
Supongamos que la región R tiene un área de A(R) = 1, de manera que se tiene
Pr{ X(R) = k } = e l lk / k!
y sabemos que la mejor forma de "estimar" el parámetro l es realizar una muestra del proceso, en nuestro caso particionar el cúmulo NGC 7789 (casssiopeia) en rectángulos no traslapados de unidad 1, y contar el número de "estrellas" contenidas en cada rectángulo, y así obtener el promedio de este recuento. Este promedio será un estimador (máximo verosímil) del parámetro l. Para realizar el conteo de las estrellas según el diagrama de la figura 1 se puede utilizar una sencilla tabla de frecuencias.
Conforme a lo anterior, realice lo siguiente
a) Construya una tabla de frecuencias de distribución del número de estrellas por región (rectángulos unitarios).
b) Una vez establecida esta tabla de frecuencias, calcule el promedio de estrellas por región.
c) Realice un prueba de bondad de ajuste (ji-cuadrado) para probar la hipótesis si efectivamente la distribución de las estrellas en la región planar del firmamento se distribuye según una Poisson.