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Modelos lineales: mínimos cuadrados |
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| De las mediciones de talla
y peso de 16 unidades de Nemipterus marginatus, indicadas en la tabla
1, se ha establecido que existe una relación directa entre ambos
atributos. Además en virtud del gráfico de dispersión, podemos estar
tentados a "trazar una recta" sobre esa nube de puntos, como
lo indica la figura 1 (con la recta marcada en rojo)
Tabla 1
Figura 1
La pregunta es ¿qué recta podemos trazar sobre esa nube de puntos?. Pensemos en lo siguiente, supongamos que el peso se explica por la talla mediante mediante la recta W = a + b L (1) El problema se traduce entonces a
encontrar los valores de a y b para los cuales "la diferencia
cuadrática" entre los valores de los pesos determinados por el
modelo (1), que denotaremos por
Esto es, debemos encontrar a y b de tal forma que la expresión
sea mínima.
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Existen dos métodos clásicos en matemáticas para encontrar los valores de a y b que minimizan la expresión, una de estos es resolver el sistema matricial
donde
de tal manera que
y además
y donde
Observe que el modelo lineal en la ecuación (1) al escribirlo matricialmente es que genera la matriz de diseño X, esto es
En definitiva, para encontrar a y b resolvemos, en nuestro caso, el sistema
cuya solución es a = -99.73551493, b = 10.33996197. De manera que podríamos postular que el peso W es explicado por la talla L mediante la recta W = -99.735 + 10.339 L
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, y los valores experimentales de los pesos Wi
sean mínimos. De otra forma, que la siguiente expresión sea mínima:
(2)
