El Teorema de la probabilidad completa.
Es sin duda este teorema el caballo de batalla de los procesos estocásticos, es decir de procesos que toman resultados aleatorios a través del tiempo, y es el soporte para el controvertido Teorema de Bayes. Basta de preámbulos y veamos de que se trata.
Supongamos que para el espacio
tenemos definida una "partición" sobre
,
digamos
, de tal modo que se
conoce cada probabilidad
para i
variando de 1 a n. Consideremos un suceso A de este espacio de
probabilidad, y además supongamos que se conoce
para cada i. Entonces la probabilidad
se determina mediante:
(1)
Recordemos que una partición sobre un conjunto significa una
colección de subconjuntos cuya reunión forma el conjunto particionado, pero
estos subconjuntos no tienen elementos en comunes. Piense en las provincias de
un país, como paradigma de partición (de un país). De manera que
se interpreta por lo que es, la probabilidad de A condicionado a la ocurrencia
del suceso Ai. Otra manera de interpretar esta expresión es:
es la probabilidad de A "bajo el escenario Ai".
Y cada
es la probabilidad de
cada escenario, de manera que lo que dice la formula anterior (1) es lo
siguiente: La probabilidad de A es igual a la suma de todas las
probabilidades de A condicionados al escenario Ai por
la probabilidad de que ocurra el escenario Ai.
Imagínese usted la siguiente situación. Hay tres urnas como se indica en el esquema siguiente. Para cada urna hay una determinada distribución de bolitas negras y blancas, y que también se indica en el esquema
Supongamos que la probabilidad de cada urna se define como:
Entonces la probabilidad de que la bola sea negra está dada por