Tema: Modelos lineales
1. Se tiene la siguiente tabla de datos correspondientes a dos mediciones, x e y, tomadas sobre una unidad muestral, en que se consideran 10 unidades muestrales.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| y | 3.3 | 3.7 | 4 | 4.48 | 4.9 | 5.5 | 6 | 6.7 | 7.4 | 8.1 |
Realice lo siguiente:
a) Grafique en el plano la nube de puntos
b) Presente un modelo matemático que usted considere mejor se ajusta a estos datos
c) Estime mediante la técnica de los mínimos cuadrados los parámetros involucrados en su modelo.
d) Si usted decide ajustar una recta y = a + bx a estos datos, ¿qué modelo es mejor, el de la recta o el que usted propone?
2. Se tienen los siguientes datos que obedecen a un determinado experimento,
| x | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 |
| y | 0.198 | 0.251 | 0.285 | 0.312 | 0.332 | 0.351 | 0.363 | 0.375 | 0.385 |
Se propone como modelo que explique los valores de y en función de los valores de x a:
y = 1/(A + B x - 1)
Calcule los parámetros A y B de este modelo mediante la estimación en mínimos cuadrados. Y además calcule el error de estimación estándar (e.e.e).
3. Se dice que en algunas especies, la relación entre el peso (W) y la talla o longitud (L) obedece al siguiente modelo matemático
W = A LB
Se toma una muestra de 16 peces de una determinada especie, donde se entregan los valores de L en cms. y W en gramos, como se indica a continuación
|
muestra |
L |
W |
|
1 |
8.1 |
6.3 |
| 2 | 9.1 | 9.6 |
| 3 | 10.2 | 11.6 |
| 4 | 11.9 | 18.5 |
| 5 | 12.2 | 26.2 |
| 6 | 13.8 | 36.1 |
| 7 | 14.8 | 40.1 |
| 8 | 15.7 | 47.3 |
| 9 | 16.6 | 65.6 |
| 10 | 17.7 | 69.4 |
| 11 | 18.7 | 76.4 |
| 12 | 19.0 | 82.5 |
| 13 | 20.6 | 106.6 |
| 14 | 21.9 | 119.8 |
| 15 | 22.9 | 169.2 |
| 16 | 23.5 | 173.3 |
Se pide calcular los parámetros A y B del modelo propuesto. Calcule el error de estimación estándar del modelo, y además ¿cuál sería el peso estimado de un pez que tenga una longitud de 15 centímetros?
4. Se desea establecer un modelo que relacione la tasa de descuento (D), en porcentaje, del Banco Central y los pasivos bancarios (P), en billones de pesos. Se tiene la siguiente información:
| D (%) | 3.01 | 3.38 | 3.88 | 4.38 | 4.50 | 4.25 | 5.25 |
| P (billones de $) | 3.43 | 3.75 | 4.52 | 5.13 | 5.94 | 6.35 | 7.99 |
Se proponen los siguientes modelos tentativos para estimar la tasa de descuento del Banco Central:
(a) D+aP-b = 3 (b) D - a e - (P/b) = 2
Responda lo siguiente:
a) ¿Qué modelo de los propuestos es el mejor para realizar las estimaciones? Fundamente su respuesta.
b) Estime los parámetros a y b del modelo que usted ha seleccionado como mejor y escriba su ecuación.
c) Con el modelo que usted calculó anteriormente, estime la tasa de descuento para un pasivo bancario de 4 billones de pesos, y encuentre un intervalo de longitud dos errores estándar de estimación que esté centrado en dicho valor estimado.
d) ¿Cuántos billones de pesos de pasivo bancario serán necesarios para evitar que la tasa de descuento sobrepase el 6%?
5. En una experiencia de laboratorio se lograron los siguientes resultados de la variable Y para cada valor de la variable X,
| X | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1.25 | 1.07 | 1.03 | 1,02 | 1.01 |
a) Determine cuál de los siguientes modelos es más adecuado para efectuar una regresión de Y sobre X:
(i) X2 = b / (Y - a + 1) (ii) (1 / (Y + 1) ) - a = b X1/2 (iii) X = e(b / (Y + 1 - a))
b) De acuerdo al modelo escogido, obtenga los estimadores mínimos cuadráticos de a y b.
c) Calcular el error estándar de estimación con el modelo escogido. ¿Qué error se comete con la estimación de Y con X = 3?