Supongamos que un contaminante es arrojado en un determinado punto de un río, y nuestra intención es conocer como la concentración de polución cambia a través del tiempo y además queremos saber la evolución de la concentración en determinados puntos a lo largo del río abajo respecto del punto de contaminación. Se considera el tiempo y la distancia como variables independientes. ¿Cómo podemos diseñar un modelo que nos entregue información a través de la distancia y el tiempo simultáneamente?

Para resolver este problema establecemos una cadena de niveles de la polución representada por secciones conectadas a lo largo del río, digamos secciones 1, 2, 3, ... etcétera, y conectamos cada nivel con el siguiente mediante flujos controlados de transferencia F₁, F₂, F₃, ... , etc. El nivel representa el volumen de polución en cada sección y es medida en metros cúbicos de polución. Cada una de las variables de transferencia F₁, F₂, F₃, ... , etc., son controladas por un tiempo de permanencia T₁, T₂, T₃, ... , etc., que representa cuanto tiempo una molécula de contaminante y del volumen V que existe en esa particular sección. La cadena de niveles continua hasta que la longitud del río sea descrita con suficiente precisión. El nivel da la cantidad de polución en cada sección y en cualquier tiempo.

Supongamos sin perdida de generalidad, que el contaminante es arrojado en un punto de inyección inicial F₀ y que existen seis secciones del río de interés. El propósito del modelo es encontrar la cantidad de polución en cualquier sección y en cualquier tiempo. Podemos encontrar las concentraciones a diferentes distancias del punto de arrojo dividiendo la cantidad de polución en una sección por el volumen de agua en esa sección. El volumen de las secciones V₁ y V₂ están determinadas por la razón de flujo Q₁, que es la misma para las secciones 1 y 2 (por condiciones del problema). Después de la sección 2, esta razón de flujo cambia. Este cambio puede ser causado, por ejemplo, por cambios en el fondo del río o la presencia de algunos desniveles. El volumen de las secciones V₃, V₄, V₅ y V₆ está determinado por la razón de flujo Q₂.

La permanencia o tiempo de residencia T en cada sección es solo el volumen de esa sección dividida por el flujo de la misma sección. La relación volumen-flujo se supone que será determinada empíricamente y, en principio, variará en el tiempo en respuesta a cambios en la razón de flujo. Para simplicidad del modelo, sin embargo, vamos a suponer valores fijos para Q₁y Q₂, y si este es el caso entonces cada V_i será constante. En efecto, sabemos que la relación entre flujo y volumen de manera general está dada por

ahora si el flujo es constantes, esto es Q8t) = Q, se tiene que

y de esto se concluye que el tiempo de residencia es t₁= V / Q

A Cada sección le llamaremos UNO, DOS, ..., SEIS; los flujos serán denotados por F1, F2, ..., F6; los tiempos de residencia por T1, T2, ..., T6; las concentraciones para las secciones respectivas están dadas por CONC 1, CONC 2, ..., CONC 6; los flujos sobre el río están denotados por Q1 y Q2, de manera que Q1 está fija los volúmenes V! y V2, mientras que Q2 fija a V3, V4, V5 y V6. Con este análisis usted está en condiciones de obtener el diagrama de Forrester, las ecuaciones dinámicas y varias simulaciones.

A continuación presentamos el Diagrama de Forrester, y la evolución de las concentraciones de polución en las cinco primeras secciones del río.

• Modelación en Stella de la contaminación del río

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