Segunda prueba de Estadística y Probabilidad (1)
 
1. Suponga que se realiza el siguiente experimento ridículo: "Usted lanzará un dado una y otra vez y solamente se detendrá hasta que le aparezca el número seis". Responda justificadamente lo siguiente:

a) Calcule la probabilidad de que usted se detenga en el segundo lanzamiento.

b) Probabilidad de que se detenga en el décimo segundo lanzamiento.

c) Cuál cree usted que es la probabilidad de que nunca se detenga. Justifique exhaustivamente mediante un razonamiento.
2. La fracción de fallas en la construcción de un equipo es de 1/1000, esto es de cada 1000 artículos hay uno fallado (en promedio). Suponga usted que se selecciona una muestra de 100 equipos de la producción de la fábrica. Responda lo siguiente:

a) Calcule la probabilidad de que no haya ningún equipo fallado en esa muestra.

b) Calcule la probabilidad de encontrar a lo más 2 equipos fallados.

c) Suponga usted que en la revisión de los 100 equipos, que se revisaron uno a uno, los primeros 75 artículos estaban todos correctos, calcule la probabilidad de encontrar un artículo fallado en los 25 artículos que faltan por revisar.
3. Se sabe que la fracción de fallas de un artículo de procedencia China es de una falla por cada 100 artículos construidos. Responda lo siguiente:

a) Se quiere realizar un muestreo de modo tal que en la cantidad de la muestra no haya más del 2% de artículos fallados. ¿De qué tamaño debe ser entonces la muestra?

b) Si se va realizando la revisión de artículo tras artículo, por una agencia compradora y esta agencia decide comprar 2000 artículos siempre y cuando en la revisión de uno por uno no se encuentre más de 3 artículos fallados entes que ocurra la vigésima revisión. ¿Cuál es la probabilidad de que la agencia compradora efectivamente compre los 2000 artículos?

c)  Si se revisan uno por uno los artículos, ¿cuál es la probabilidad de encontrar un artículo fallado en la decimosegunda revisión?
4. Hay 10 mochilas que se deben cargar en tres autos, donde la capacidad de cada auto soporta perfectamente 10 mochilas. Sin embargo deciden distribuir estas 10 mochilas entre los tres autos. Los chóferes de cada auto deciden jocosamente establecer la siguiente regla para admitir una mochila: Cada dueño de la mochila lanzará un dado y si el dado entrega en valor de 1, 2 o 3 entonces la mochila se va al auto 1, si el resultado es 4 o 5, entonces la mochila se va al auto 2, y si el dado resulta un 6 entonces la mochila se va al auto 3. Responda lo siguiente:

a) Calcule la probabilidad de que el auto 1 se lleve las 10 mochilas.

b) Calcula la probabilidad de que el auto 1 lleve 2 mochilas, el auto 2 lleve 5 mochilas y el auto 3 las 3 restantes.

c) Calcula la probabilidad de que al auto 1 lleve 7 mochilas.

5. Alguien dijo que el promedio de accidentes de tránsito vehicularen un determinado sector es de 3 accidentes por semana, y además se supone que el número de accidentes se rige por la probabilidad de Poisson. Responda lo siguiente:

a) Calcule la probabilidad de que ocurran 2 accidentes en una semana en dicho sector.

b) Calcule la probabilidad de que ocurran 2 accidentes en un año en dicho sector.

c) Explique la aparente contradicción de ambos resultados. ¿Se puede concluir que es más improbable que ocurran menos accidentes durante el año que durante una determinada semana?
5. Si elegimos al azar a un varón dominicano, ¿cuál es la probabilidad de que este joven dominicano tenga un peso entre 60 y 65 kilogramos?.  Justifique exhaustivamente.
6. Calcule los tres cuartiles de la densidad t- student de 20 grados de libertad y compárelas con los tres cuartiles de la densidad normal de media (mu) 0 y desviación estandar (sigma) 1. ¿Qué puede concluir?
7. Se sabe que el tiempo (promedio) de duración de una ampolleta es de 50.000 horas (cincuenta mil horas) de uso. Y además se sabe que el tiempo de duración de una ampolleta sigue una ley de densidad exponencial. Calcule lo siguiente:

a) Probabilidad de que una ampolleta dure menos de 30.000 horas.

b) Probabilidad de que una ampolleta encendida continuamente dure más de un año.

c) Si una ampolleta encendida ha superado las 60.000 horas, ¿cuál es la probabilidad de que se queme entre las 60.000 horas y las 70.000 horas de uso?
8. Para la ley de densidad gamma de parámetros alfa = 15 y beta = 5, calcule todos los deciles.
9. Se tienen cuatro urnas. la primera urna contiene 6 bolas de las cuales hay 4 rojas y dos negras; la segunda urna hay 7 bolas de las cuales hay 2 rojas y 5 negras, y en las urnas 3 y 4 hay la misma cantidad de bolas negras que rojas. Si se elige una urna al azar y luego de esa urna seleccionada se toma una bola al azar. Responda lo siguiente:

a) ¿cual es la probabilidad de seleccionar una bola roja?

b) ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola de la urna 3?

c) Si la bola seleccionada es roja, ¿de qué urna piensa usted, justificadamente, que proviene dicha bola?