Los griegos

Sabio fueron los griegos que inventaron algo peor que la muerte, que es el destierro.

(Atribuido a Margarita Xirgu, exiliada en el Uruguay)
 
Es con los griegos -quienes heredaron los conocimientos de los egipcios y babilonios- que la matemática alcanza un nivel de desarrollo superior. El nivel de Abstracción alcanzado por éstos les permitió plantearse y resolver algunos problemas que conducían ecuaciones de segundo y tercer grado más complicados que la de sus antecesores babilonios y egipcios; la mayoría de ellas resueltas por métodos geométricos.
 
Así, por ejemplo, en el segundo libro de Los Elementos de Euclides (320 - 275 a. C.), está demostrada por métodos geométricos la proposición siguiente: Cortar una recta dada, de manera que el rectángulo comprendido entre la recta entera y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del otro segmento. Este es el célebre problema de la división de una recta en razones extrema y media o sección áurea que conduce a la ecuación de segundo grado x2 - ax - a2 = 0
 

Sección áurea
Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi

Para obtener el valor de \varphi a partir de esta razón considere lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:

\frac{1 + x}{x} = \frac{x}{1}

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:

\ x^2 - x -1 = 0

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación son

x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \varphi \approx 1,61803

x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{\varphi} \approx -0,61803

La solución positiva es el valor del número áureo.

 

Vea esta excelente película sobre el número áureo como ayuda para preparar sus clases
 
Arquímedes en el libro primero titulado Sobre Esferas y Cilindros, da los siguientes resultados originales obtenidos por él:
El área de la superficie de la esfera es igual a cuatro veces el área del círculo mayor.
El área de la superficie de un segmento esférico es igual al área del círculo cuyo radio es igual a la distancia entre el vértice del segmento y su periferia.
El volumen del menor cilindro circunscrito a la esfera es igual a 3/2 del volumen de la esfera.
 
Arquímedes propone, también, buscar la solución de la ecuación x3 + b2c = ax2 que resulta de cortar una esfera de tal modo que los pedazos de volúmenes que resulten estén en una proporción dada.
En la matemática griega se generalizó ampliamente el planteamiento de problemas que conducían a ecuaciones de grado mayor que dos. Nicomedes (200 a. C.), que perteneció a la Escuela de Alejandría, construyó la curva, llamada posteriormente Concoide de Nicomedes, con un aparato inventado por el mismo, cuya ecuación en coordenadas cartesianas es:
 

(x - a)2 (x2 + y2) - b2y2 = 0
 
Apolonio de Perga (262 - 205 a.C.), obtuvo las ecuaciones de la elipse, parábola e hipérbola, haciéndose célebre por su tratado sobre las secciones cónicas donde expone sus propiedades más importantes. Este monumental tratado contenía más de 400 teoremas divididos en 8 libros de los que desgraciadamente no se conservaron todos. Según algunos historiadores antiguos, Apolonio habría calculado también una muy buena aproximación para el número p.
 
 
 
 
Los filósofos griegos, por los historiadores, son clasificados en escuelas. Las más notables son:
La Escuela de Atenas
La Escuela Jónia
La Escuela de Alejandría