Anterior

Avanzar

Principal

El lago contaminado

Supongamos un lago de volumen constante V, de tal modo que tanto el flujo de entrada como el de salida es el mismo, digamos I m3/seg.
Supongamos que el lago ya se encuentra contaminado. Si el volumen de contaminante en el tiempo t es P( t ). Y definimos la concentración de contaminante a través del tiempo por

           (1)

¿Cuál es la evolución dinámica de y( t )?
Si P( t ) es el volumen de contaminante en el tiempo t, necesitamos saber el volumen de contaminante en el tiempo t + Dt,

                  (2)

En efecto, si suponemos que el contaminante está repartido uniformemente en todo el lago, entonces este contaminante saldrá por el flujo de salida, y la cantidad de contaminante que saldrá durante el intervalo de tiempo [t, t + Dt] será una fracción (una parte) del flujo, y esta parte es precisamente la concentración y( t ), y es evidente que el contaminante que saldrá (el volumen) será directamente proporcional al tiempo transcurrido, esto es y( t ) I Dt. Y esta es la cantidad o volumen de contaminante se le debe restar al volumen que ya había hasta el tiempo t. Esta es la explicación del modelo construido en (2).
Ahora buscando el cociente de Newton, nos queda

pasando al límite cuando Dt tiende a cero, nos queda

              (3)

De (1), obtenemos P '( t ) = y '( t ) V , y reemplazamos en la ecuación (3),

           (4)

La ecuación en (4) es el modelo que regula la evolución de la contaminación de este lago, de otra forma el problema consiste en encontrar una función tal que su derivada sea ella misma multiplicada por la constante - I / V. Además se supone conocida la concentración de contaminación en el tiempo t = 0.
No resulta complicado demostrar que la función

satisface la ecuación (4), y entonces la constante es k = y( 0 ). (Vea Ecuaciones diferenciales simples). De otra forma la función que modela la concentración de contaminación en el lago es

Si I = 1 m3 / seg , V = 106 m3 y hay una concentración inicial de y( 0 ) = 10-3, entonces la evolución de la concentración a través del tiempo lo entrega la siguiente gráfica,

Anterior

Avanzar

Principal