Preparación para la tercera prueba de Álgebra III del día 7 de septiembre del 2015
1. Las isometrías más comunes en el plano cartesiano son:

 
Estas 4 isometrías son claramente Transformaciones Lineales de R2 a R2. Encuentre las Matrices asociadas a estas isometrías respecto de la base canónica en R2 (tanto en el espacio de dominio como en el de llegada).
 
2. Consideremos los siguientes dos puntos en el  plano cartesiano: (2, 1) y (4, 3)
a) Calcule la distancia entre ambos puntos
b) Para ambos puntos aplique las isometría Tv. Luego calcule la distancia entre Tv(2, 1) y Tv(4, 3) (Si hace el problema correctamente entenderá el porqué le dicen isometría, del griego iso = igual, metría = medida)
 
3. Considere la base B = { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) } para R3. Y además considere otra  base para R3, C = {(1, 2, 3), (1, 1, 1), (2, 1, 1) }.
a) Calcule la matriz cambio de base de B a C.
b) Considere el vector (2, 1, 3). Escriba este vector como combinación lineal para cada una de estas dos bases.
4. Para cada matriz

a)           b)       c)

 
Calcule y responda lo siguiente:

a) Su polinomio característico
b) Los autovalores de esa matriz
c) El espacio vectorial de los autovectores asociados a cada autovalor
d) Determine una base para cada espacio vectorial anterior.
e) ¿Es cada matriz diagonalizable? ¿Porqué?
 
5. a) ¿Cuál es el ángulo existente entre los vectores (2, 1) y (4, 3)?   b) ¿Cuál es el ángulo existente entre los vectores (1, 2, 3) y (1, 1, 1)?